Vitesse angulaire
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En physique, et plus spécifiquement en mécanique, la vitesse angulaire ω, aussi appelée fréquence angulaire, est une mesure de la vitesse de rotation.

Elle s'exprime dans le système international en radians par seconde ( Seconde est le féminin de l'adjectif second, qui vient immédiatement après le premier ou qui s'ajoute à quelque chose de nature identique. La seconde est une unité de mesure du temps. La seconde d'arc est une mesure d'angle plan. ...) (rad.s-1), ou plus simplement en s-1 puisque les angles sont des grandeurs sans dimension ; elle reste de manière courante donnée (Dans les technologies de l'information, une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose, d'une transaction, d'un événement, etc.) en tours par minute ( Forme première d'un document : Droit : une minute est l'original d'un acte. Cartographie géologique ; la minute de terrain est la carte originale, au crayon, levée...) (tr/min).

Une révolution complète est égale à 2π radians, donc :

\omega = \frac{d \, \theta}{d \, t} = \frac{2\pi}{T} = 2\pi f

ω est la vitesse angulaire (En physique, et plus spécifiquement en mécanique, la vitesse angulaire ω, aussi appelée fréquence angulaire, est une mesure de la vitesse de rotation.) (en rad (L'abréviation rad désigne habituellement le radian, une unité d'angle.).s-1)
l'expression \frac{d \, \theta}{d \, t} est la dérivée (La dérivée d'une fonction est le moyen de déterminer combien cette fonction varie quand la quantité dont elle dépend, son argument, change. Plus précisément, une dérivée est une expression (numérique ou algébrique) donnant le rapport...) de l'angle (En géométrie, la notion générale d'angle se décline en plusieurs concepts apparentés.) par rapport au temps (Le temps est un concept développé par l'être humain pour appréhender le changement dans le monde.) (en rad.s-1)
T est la période de rotation (La période de rotation désigne la durée mise par un astre (étoile, planète, astéroïde) pour faire un tour sur lui même. Par exemple, la Terre a une période de rotation...) (en s) et
f est la fréquence (En physique, la fréquence désigne en général la mesure du nombre de fois qu'un phénomène périodique se reproduit par unité de temps. Ainsi lorsqu'on emploie le mot fréquence sans...) (en s-1).

L'utilisation de la vitesse (On distingue :) angulaire au lieu de la fréquence ordinaire est pratique dans maintes applications car elle permet d'éviter l'apparition excessive de π.
En fait, elle est utilisée dans de nombreux domaines de la physique (La physique (du grec φυσις, la nature) est étymologiquement la « science de la nature ». Dans un sens général et ancien, la...) comme la mécanique quantique (Fille de l'ancienne théorie des quanta, la mécanique quantique constitue le pilier d'un ensemble de théories physiques qu'on regroupe sous...) et l'électromagnétisme (L'électromagnétisme est une branche de la physique qui fournit un cadre très général d'étude des phénomènes électriques et magnétiques dans leur synthèse du champ...).

Par exemple :

a = − ω2x

En utilisant la fréquence ordinaire, cette équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement pour poser le problème de leur identité. Résoudre l'équation consiste à déterminer toutes les façons de donner à...) serait :

a = - 4 \pi^2\; f^2\; x

Aussi notez que :

T = 2 \pi \frac{r}{v}
T est la période (en s)
r est la distance séparant le point (Graphie) du centre de rotation, c'est-à-dire le rayon (en m)
v est la vitesse du point (en m.s-1)

Et donc:

\omega = \frac{2\pi}{T}=\frac{v}{r}

On utilise parfois un vecteur (En mathématiques, un vecteur est un élément d'un espace vectoriel, ce qui permet d'effectuer des opérations d'addition et de multiplication par...) vitesse angulaire \vec{\omega}. Il s'agit du vecteur :

  • normal au plan de rotation,
  • orienté de sorte que le mouvement se fasse dans le sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but l'extension radicale de l'espérance de vie humaine. Par une évolution progressive...) positif,
  • et dont la norme (Une norme, du latin norma (« équerre, règle ») désigne un état habituellement répandu ou moyen considéré le plus souvent comme une règle à...) vaut ω.

Théorèmes et propriétés relatifs à la fréquence angulaire (En physique, et plus spécifiquement en mécanique, la vitesse angulaire ω, aussi appelée fréquence angulaire, est une mesure de la vitesse de rotation.)

Composition des vitesses angulaires

Quels que soient les solides A, B et C, les fréquences de rotations sont liées par : \vec{\omega}_{A/C}=\vec{\omega}_{A/B}+\vec{\omega}_{B/C}. Remarque: il ne s'agit pas vraiment de vecteur puisque le symétrique dans un miroir (Un miroir est un objet possédant une surface suffisamment polie pour qu'une image s'y forme par réflexion et conçu à cet effet. C'est souvent une couche...) est inversé.

Exemple
Soit un Référentiel galiléen (En physique, un référentiel galiléen est un référentiel dans lequel un objet isolé (sur lequel ne s'exerce aucune force ou sur lequel la résultante des forces est nulle) est...) R.
Considérons un solide S1 en rotation à la fréquence angulaire \omega_{S_1/R}, par rapport au référentiel R.
Considérons également un solide S2 en rotation par rapport à S1 à la fréquence angulaire \omega_{S_2/S_1}.
La vitesse de rotation de S2 par rapport à R, \omega_{S_2/R} sera égale à \omega_{S_2/R}=\omega_{S_1/R}+\omega_{S_2/S_1}.
Dans ce cas, si \omega_{S_2/S_1}=-\omega_{S_1/R}, le solide S2 sera en translation circulaire dans le référentiel R.

Relation Vitesse - Fréquence angulaire

Soit un solide S. Si A et B sont deux points de ce solide, alors : \vec{V_A}=\vec{V_B}+\vec{AB}\wedge\vec{\omega}_{A/R} cette formule montre bien que " ω " (omega) n'est pas une vitesse \vec{AB}\wedge\vec{\omega}_{A/R} est une vitesse.

Exemple
Soit un disque (Le mot disque est employé, aussi bien en géométrie que dans la vie courante, pour désigner une forme ronde et régulière, à l'image d'un palet — discus en latin.) de 1m de rayon, en rotation autour (Autour est le nom que la nomenclature aviaire en langue française (mise à jour) donne à 31 espèces d'oiseaux qui, soit appartiennent au...) de son axe de symétrie à la vitesse ωD / R (R un référentiel galiléen). si ω est exprimée en radians par secondes, alors chacun des points situés sur le bord du disque aura une vitesse orthogonale à l'axe de rotation (par propriété du produit vectoriel) de \omega_{D/R}\times1m. Unité : mètres par seconde

Centre instantané de rotation

Par analogie : lorsqu'un mouvement n'est pas rectiligne, on peut regarder de façon ponctuelle sa vitesse et sa direction à un instant (L'instant désigne le plus petit élément constitutif du temps. L'instant n'est pas intervalle de temps. Il ne peut donc être considéré comme une durée.) donné. De la même façon, s'il n'est pas en rotation, on peut considérer de façon ponctuelle une vitesse angulaire et un centre de rotation.

Le centre instantané de rotation de A par rappport à B, pour l'instant t est le point I de A vérifiant : \vec{V}_{I/B}(t)=\vec{0}

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