Signe (arithmétique) - Définition

Introduction

En arithmétique, le signe d'un nombre réel qualifie sa position par rapport à zéro. Un nombre est dit positif s'il est supérieur ou égal à zéro ; il est dit négatif s'il est inférieur ou égal à zéro. Le nombre zéro lui-même est donc à la fois positif et négatif.

Le signe arithmétique est souvent noté à l'aide des signes algébriques « + » et « − » (plus et moins), notamment dans un tableau de signe. En effet, un nombre écrit en chiffres est précédé du signe « − » s'il est négatif. Mais cette notation peut engendrer des confusions lorsque les signes plus et moins sont utilisés comme opérateurs. Notamment, l'expression −a est positive, si a est négatif.

Le changement de signe d'une expression algébrique est la soustraction de cette expression à l'élément nul. Il est noté à l'aide du signe « − » précédent l'expression.

Historique

Un énoncé explicite de la règle des signes apparaît dans les Artihmétiques de Diophante d'Alexandrie (III^e siècle) :

« Ce qui est de manque, multiplié par ce qui est de manque, donne ce qui est positif ; tandis que ce qui est de manque, multiplié par ce qui est positif, donne ce qui est de manque »

On la trouve également dans des textes comme l’Arybhatiya, du nom de son auteur le mathématicien indien Âryabhata (476 – 550). Ce dernier y définit les règles d'addition et de soustraction entre les nombres négatifs, représentant des dettes, et les nombres positifs quantifiant les recettes.

Quelques siècles plus tard, dans les écrits du mathématicien perse Abu l-Wafa (940 – 998), apparaissent des produits de nombres négatifs par des nombres positifs. Cependant le nombre négatif reste encore attaché à une interprétation concrète. Une démonstration algébrique de la règle des signes a été donnée par Ibn al-Banna (1256 - 1321).

En Occident, elle est énoncée par Nicolas Chuquet (c. 1450 - 1487) :

« Qui multiplie plus par moins ou vice versa, il en vient toujours moins. Qui partit plus par plus et moins par moins et il en vient plus. Et qui partit plus par moins ou moins par plus il en vient moins »

Il faut attendre le XVII^e siècle pour que les calculs algébriques s'appliquent aussi bien aux négatifs qu'au positifs. Mais D'Alembert (1717 – 1783) lui-même montrera encore quelques réserves sur les nombres négatifs dans l'encyclopédie :

« Il faut avouer qu'il n'est pas facile de fixer l'idée des quantités négatives, et que quelques habiles gens ont même contribué à l'embrouiller par les notions peu exactes qu'ils en ont donné. Dire que la quantité négative est au-dessous du rien, c'est avancer une chose qui ne se peut pas concevoir. Ceux qui prétendent que 1 n'est pas comparable à −1, et que le rapport entre 1 et −1 est différent du rapport entre −1 et 1, sont dans une double erreur […] Il n'y a donc point réellement et absolument de quantité négative isolée : −3 pris abstraitement ne présente à l'esprit aucune idée. »

— D'Alembert, Encyclopédie ou Dictionnaire raisonné des sciences, des arts et des métiers

Il y explique la règle des signes comme suit :

« Voilà pourquoi le produit de –a par –b donne +ab : car a et b étant précédés du signe – [...] c'est une marque que ces quantités se trouvent mêlées et combinées avec d'autres, puisque, si elles étaient considérées comme seules et isolées, les signes – dont elles sont précédées ne présenteraient rien de net à l'esprit. Donc ces quantités –a et –b ne se trouvent précédées du signe – que parce qu'il y a quelque erreur tacite dans l'énoncé du problème ou dans l'opération : si le problème était bien énoncé, ces quantités –a, –b, devraient se trouver chacune avec le signe +, et alors le produit ferait +ab. [...] Il n'est pas possible, dans un ouvrage de la nature de celui-ci, de développer davantage cette idée ; mais elle est si simple , que je doute qu'on puisse lui en substituer une plus nette et plus exacte ; [...] et je crois pouvoir assurer qu'on ne la trouvera jamais en défaut. Quoiqu'il en soit, les règles des opérations algébriques sur les quantités négatives sont admises par tout le monde, et reçues généralement comme exactes, quelqu' idée qu'on attache d'ailleurs à ces quantités. »