Simplexe - Définition

Propriétés

• Tout n-x simplexe généré par un sous-ensemble de {a, a, ..., a} (qui sont les différents sommets du simplexe) est appelé n-x face de s.
• L'ensemble des faces de s différentes de s lui-même sont appelées faces propres de s, et leur union est appelée bord de s.
• Un n simplexe n'a pas de diagonales (voir diagonale), car par définition, tous les (n+1) sommets d'un n simplexe sont déjà reliés entre eux.
• L'isobarycentre d'un n simplexe est situé à des centres de ses (n-1)faces. Par exemple l'isobarycentre d'un segment est situé à 1/2 de ses extrémités, l'isobarycentre d'un triangle équilatéral est situé à 1/3 des milieux de ses côtés, l'isobarycentre d'un tétraèdre se situe à 1/4 des centres des faces...
• Un simplexe est son propre dual (voir dualité), ce qui signifie que lorsque l'on relie entre eux tous les centres des (n-1)faces d'un n simplexe, on retombe sur le même simplexe, réduit d'un demi.
• Si un simplexe possède un "coin droit" (c'est-à-dire que toutes les arêtes se rencontrant en un sommet sont perpendiculaires en elles), on peut alors utiliser la généralisation en n dimensions du théorème de Pythagore : "La somme des carrés des (n-1) volumes des hyperfaces adjacentes au coin droit est égale au carré du (n-1) volume opposé au coin droit". Par exemple, dans un triangle ABC rectangle en A on aura BC² = AB² + AC², dans une pyramide ABCD rectangle en A on aura BCD² = ABC² + ABD² + ACD², et dans un pentatope ABCDE rectangle en A on aura BCDE² = ABCD² + ABCE² + ABDE² + ACDE².
• Topologiquement, un n simplexe est homéomorphe (voir homéomorphisme) à une n sphère. Chaque n simplexe est une variété convexe sans trous ayant n dimensions. La caractéristique d'Euler de n'importe quel n simplexe vaudra donc 0 si n est pair et 2 si n est impair, comme pour la n sphère.
• Le groupe des isométries d'un n simplexe régulier est d'ordre n!.

Formules de longueurs remarquables et des n-volumes

• Chaque simplexe possède un hypervolume qui correspond à son intérieur (pour le segment il s'agit de sa longueur, pour le triangle de son aire, pour le tétraèdre de son volume). On note le n volume d'un n simplexe V_n, pour tout simplexe régulier d'arête a il vaut :

Cette formule est obtenue pour un simplexe par récurrence à partir du simplexe de dimension précédente, en effet, le n volume d'un n simplexe est le produit d'une hauteur (distance entre un sommet et le centre de la (n-1)face opposée) et de la base correspondante ((n-1) volume d'une (n-1)face), divisé par le nombre de dimensions du simplexe :

Exemples :

• La longueur d'un segment est donc de V₁ = a
  
• L'aire du triangle équilatéral est de
• Le volume du tétraèdre régulier est de
• L'hypervolume du pentachore régulier est de

• Soit h_n la hauteur du n simplexe, R_n le rayon de l'hypersphère circonscrite au n simplexe, et r_n le rayon de l'hypersphère inscrite au n simplexe, on a alors :
  • , car la hauteur est perpendiculaire à toute droite de la (n-1) base, donc également au rayon de la (n-1) sphère circonscrite de la (n-1) base, et l'arête de longueur a relie le sommet de la hauteur avec un sommet de la base, les trois forment un triangle rectangle, on applique tout simplement le théorème de Pythagore.
  • 
  • , car le rayon de la n sphère circonscrite relie le centre du n-simplexe à un sommet, le rayon de la sphère inscrite relie le centre du n simplexe au centre de la base (comme la n sphère inscrite est tangente au n simplexe ce rayon est perpendiculaire à la base), et le rayon de la (n-1) sphère circonscrite à la base relie le centre de la base un sommet du n simplexe, on applique encore le théorème de Pythagore.
• Par récurrence, en partant des valeurs V₁ = h₁ = 1 et triviales chez le 1 simplexe, on obtient :
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