Strophoïde - Définition

Introduction

En mathématiques, et plus précisément en géométrie, une courbe strophoïdale, ou simplement une strophoïde, est une courbe engendrée à partir d'une courbe donnée C et de deux points A (le point fixe) et O (le pôle). Dans le cas particulier où C est une droite, A appartient à C, et O n'appartient pas à C, la courbe est appelée une strophoïde oblique. Si, de plus, OA est perpendiculaire à C, la courbe est appelée une strophoïde droite, ou simplement une strophoïde par certains auteurs. La strophoïde droite est aussi parfois appelée courbe logocyclique.

Construction

La courbe strophoïdale correspondant à la courbe C, au point fixe A et au pôle O est construite de la manière suivante : soit L une droite mobile passant par O et coupant C en K. Soit alors P₁ et P₂ les deux points de L tels que P₁K = P₂K = AK. Le lieu géométrique des pointsP₁ et P₂ est appelé la strophoïde de C relativement au pôle O et au point fixe A. On remarquera que AP₁ et AP₂ sont orthogonaux.

Cas particuliers

Strophoïdes obliques

Soit C une droite passant par A. Alors, dans les notations précédentes, l(θ) = α, oùα est une constante, et l₁(θ) = (θ + α + π) / 2 ; l₂(θ) = (θ + α) / 2. Avec l'origine en O, les équations polaires de la strophoïde correspondante, appelée une strophoïde oblique deviennent

et

.

On vérifie facilement que ces deux équations décrivent en fait la même courbe.

Déplaçant l'origine en A (voir, là encore, l'article sectrice de Maclaurin (en)) et remplaçant −a par a, on obtient

 ;

une rotation de α transforme cette équation en

.

En coordonnées cartésiennes (et en changeant les constantes), on obtient

y(x² + y²) = b(x² − y²) + 2cxy.

C'est une cubique, unicursale d'après l'équation polaire. Elle possède un point double en (0, 0), et la droite y=b lui est asymptote.

La strophoïde droite

Posant α = π / 2 dans

,

on obtient

.

Cette courbe est appelée la strophoïde droite, et correspond au cas où C est l'axe Oy, O est l'origine, et A est le point (a,0).

L'équation cartésienne est

y² = x²(a − x) / (a + x) ;

une représentation paramétrique unicursale est :

.

La courbe ressemble au folium de Descartes, et la droite x = −a est asymptote aux deux branches infinies. La courbe possède deux autres asymptotes "imaginaires" dans le plan complexifié , données par

.

Strophoïdes de cercles passant par les points fixes

Soit C un cercle passant par O et A. Prenant O pour origine et A en (a, 0), on obtient, dans les notations précédentes, l(θ) = α + θ, où α est une constante. Ainsi, l₁(θ) = θ + (α + π) / 2 et l₂(θ) = θ + α / 2. Les équations polaires des strophoïdes correspondantes sont alors

et

.

Ce sont les équations de deux cercles passant également par O et A, et formant des angles de π / 4 avec C en ces points.

Équations

Coordonnées polaires

Soit lal courbe C donnée par r = f(θ), où l'origine est prise en O. Soit A le point de coordonnées cartésiennes (a, b). Si est un point de la courbe, la distance de K àA est

.

Les points de la droite OK ont pour angle polaire θ, et les points à distance d de K sur cette droite sont à une distance de l'origine. Par conséquent, l'équation de la strophoïde est donnée par

.

Coordonnées cartésiennes

Soit C d'équations paramétriques (x=x(t),y= y(t)). Soit A le point (a, b) et O le point (p, q). Alors, les formules polaires précédentes montrent que la strophoïde est représentée paramétriquement par :

,

où

.

Une autre formule polaire

La complexité des formules précédentes limite leur utilité en pratique. Il en existe une forme alternative parfois plus simple, qui est particulièrement utile quand C est une sectrice de Maclaurin (en) de pôles Oet A.

Soit O l'origine et A le point (a, 0). Soit K un point de la courbe, θ l'angle entre OK et l'axe Ox, et l'angle entre AK et l'axe Ox. Supposons que soit donné en fonction de θ, sous la forme . Soit ψ l'angle en K, donc . On peut déterminer r en fonction de l en utilisant la loi des sinus : comme

.

Soit P₁ et P₂ les points de la droite OK à distance AK de K, numérotés de façon à ce que et . Le triangle P₁KA est isocèle d'angle au sommet ψ, donc les angles de la base, et , valent(π − ψ) / 2. L'angle entre AP₁ et l'axe Ox est alors

.

Utilisant le fait que AP₁ et AP₂ sont perpendiculaires (car le triangleAP₁P₂ est inscrit dans un demi-cercle), l'angle entre AP₂ et l'axe Ox vaut

.

L'équation polaire de la strophoïde se déduit alors de l₁ et l₂ d'après les formules précédentes :

C est une sectrice de Maclaurin de pôles O et A quand l est de la forme qθ + θ₀ ; dans ce cas l₁ et l₂ ont la même forme, et la strophoïde est soit une autre sectrice de Maclaurin, soit un couple de sectrices ; on peut en trouver une équation polaire simple si on prend l'origine au symétrique de A par rapport àO.