Asymptote
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Le terme d'asymptote est utilisé en mathématiques pour préciser des propriétés éventuelles d'une branche infinie de courbe à accroissement tendant vers l'infinitésimal. C'est d'abord un adjectif d'étymologie grecque qui peut qualifier une droite, un cercle (Un cercle est une courbe plane fermée constituée des points situés à égale distance d'un point nommé centre. La valeur de cette...), un point (Graphie) ... dont une courbe (En géométrie, le mot courbe, ou ligne courbe désigne certains sous-ensembles du plan, de l'espace usuels. Par exemple, les droites, les segments, les lignes polygonales et les cercles sont des courbes.) plus complexe peut se rapprocher. C'est aussi devenu un nom féminin synonyme de droite asymptote.

L'étude du comportement asymptotique est particulièrement développé dans les études de fonctions. Dans le domaine scientifique (Un scientifique est une personne qui se consacre à l'étude d'une science ou des sciences et qui se consacre à l'étude d'un domaine avec la rigueur et les...), il arrive fréquemment d'étudier des fonctions dépendant du temps (Le temps est un concept développé par l'être humain pour appréhender le changement dans le monde.) (évolution de populations, réaction chimique ou nucléaire (Le terme d'énergie nucléaire recouvre deux sens selon le contexte :), graphique de température (La température est une grandeur physique mesurée à l'aide d'un thermomètre et étudiée en thermométrie. Dans la vie courante, elle est reliée aux sensations de froid et de chaud, provenant du...), oscillation (Une oscillation est un mouvement ou une fluctuation périodique. Les oscillations sont soit à amplitude constante soit amorties. Elles répondent aux mêmes équations quel que soit le domaine.) d'un amortisseur). Un des objectifs du chercheur (Un chercheur (fem. chercheuse) désigne une personne dont le métier consiste à faire de la recherche. Il est difficile de bien cerner le métier de chercheur tant les domaines de...) est alors de connaitre l'état à la fin de l'expérience, c’est-à-dire lorsqu'un grand intervalle de temps s'est écoulé. L'objectif n'est alors pas de connaitre les variations intermédiaires mais de déterminer le comportement stable, à l'infini du phénomène mesuré. Le chercheur étudie donc le comportement asymptotique de sa fonction avec les outils que les mathématiques (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que les nombres, les figures, les structures et les transformations. Les mathématiques...) lui offrent.

Le projet (Un projet est un engagement irréversible de résultat incertain, non reproductible a priori à l’identique, nécessitant le concours et l’intégration d’une grande diversité de contribution, et...) d'une définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.) uniforme n'étant pas raisonnable, cet article détaillera plusieurs situations.

Courbe d'équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement pour poser le problème de leur identité. Résoudre l'équation consiste à déterminer...) y = f(x)

Sur le graphe 1/x, les axes x et y sont des asymptotes.
Sur le graphe (Le mot graphe possède plusieurs significations. Il est notamment employé :) 1/x, les axes x et y sont des asymptotes.
Sur le graphe (1/x)+x, l'axe des y et la droite x=y sont toutes les deux des asymptotes.
Sur le graphe (1/x)+x, l'axe des y et la droite x=y sont toutes les deux des asymptotes.

Les asymptotes sont à rechercher lorsque x ou f(x) tend vers l'infini.

Droite asymptote

Asymptote " verticale "

La droite d'équation x = a est une asymptote " verticale " à la courbe représentative de la fonction f (en a+) si quel que soit x>a, \lim_{x \to a}f(x) = \pm\infty.
La droite d'équation x = a est asymptote " verticale " à la courbe représentative de la fonction f (en a-) si quel que soit x.

On trouvera des asymptotes verticales en particulier lorsque la fonction f se présente sous forme d'un quotient dont le dénominateur, mais pas le numérateur, s'annule en a.

Exemples : fonction homographique (On appelle fonction homographique toute fonction d'un corps commutatif dans lui-même définie par), logarithme (En mathématiques, une fonction logarithme est une fonction définie sur à valeurs dans , continue et transformant un produit en somme. Le logarithme de base a...) népérien, fonction tangente

Asymptote " horizontale "

La droite d'équation y = b est asymptote horizontale à la courbe d'équation y = f(x), si \lim_{x \to \pm\infty}f(x) = b .

Exemples : fonction homographique, exponentielle (La fonction exponentielle est l'une des applications les plus importantes en analyse, ou plus généralement en mathématiques et dans ses domaines...). tangente hyperbolique

Asymptote " oblique "

La droite d'équation y = ax + b est asymptote oblique à la courbe représentative de la fonction f si \lim_{x \to \pm\infty}f(x)-(ax+b) = 0

les valeurs de a et de b peuvent se retrouver à l'aide des remarques suivantes :

a = \lim_{x \to \pm\infty}{f(x) \over x}
b = \lim_{x \to \pm\infty}{f(x)-ax}.

Lorsque la limite \lim_{x \to \pm\infty}{f(x) \over x} existe et est égale à a et la \lim_{x \to \pm\infty}{f(x)-ax} n'existe pas, on dit que la courbe admet une branche parabolique de direction la droite d'équation y = ax.

Exemples : fonction rationnelle (En mathématiques, une fonction rationnelle est un rapport de fonctions polynômes à valeurs dans un corps K. En pratique, ce corps est généralement (corps des réels) ou ...),

Le point de vue (La vue est le sens qui permet d'observer et d'analyser l'environnement par la réception et l'interprétation des rayonnements lumineux.) projectif

Les trois situations précédentes n'en forment qu'une en géométrie projective (La géométrie projective est le domaine des mathématiques qui modélise les notions intuitives de perspective et d'horizon. Elle étudie les propriétés des figures inchangées par projection.), une asymptote étant une tangente à l'infini.

Courbe asymptote

La courbe d'équation y = g(x) est asymptote à la courbe d'équation y = f(x) en \pm \infty si \lim_{x \to \pm \infty} f(x) - g(x) = 0 . Les asympotes " horizontales " ou " obliques " sont alors des cas particuliers de courbes asympotes de ce type.

La courbe d'équation y = g(x) est asymptote à la courbe en a^{\pm} si \lim_{x \to a^{\pm}} f(x) = \lim_{x \to a^{\pm}} g(x) = \pm \infty

Exemple : Une courbe d'équation y=\frac{ax^{3}+bx^{2}+cx+d}{x} admet une parabole (La parabole est l'intersection d'un plan avec un cône lorsque le plan est parallèle à l'une des génératrices du cône. Elle est un type de courbe dont les nombreuses propriétés géométriques ont intéressé...) asymptote d'équation y = ax2 + bx + c et une hyperbole asymptote d'équation y=\frac{d}{x}. La figure constitue un trident de Newton.

Courbe paramétrée

On cherche les asymptotes aux branches infinies de la courbe d'équation (x = x(t) ; y = y(t) ), c’est-à-dire en t0 (réel ou infini) tel que \lim_{t\to t_0} OM(t) = + \inftyM(t) est le point de coordonnées (x(t) ; y(t))

Droite asymptote horizontale

La courbe admet la droite D : y = y_0\, pour asymptote en t0 si : \lim_{t\to t_0} x(t) = + \infty et \lim_{t\to t_0} y(t) = y_0

Exemple à trouver

Droite asymptote verticale (La verticale est une droite parallèle à la direction de la pesanteur, donnée notamment par le fil à plomb.)

La courbe admet la droite D : x = x_0\, pour asymptote en t0 si : \lim_{t\to t_0} x(t) = x_0 et \lim_{t\to t_0} y(t) = + \infty

Exemple à trouver

Autre asympote

Si \lim_{t\to t_0} |x(t)| = + \infty et \lim_{t\to t_0} |y(t)| = + \infty

Nous cherchons donc à étudier (si elle existe), la limite l de \frac{y(t)}{x(t)} quand t tend vers t0.

Si l est + \infty ou - \infty, l'asymptote est verticale.

Si l est réelle, l'asymptote est la droite d'équation y = lx

Exemple à trouver

Méthode de recherche (La recherche scientifique désigne en premier lieu l’ensemble des actions entreprises en vue de produire et de développer les connaissances...)

Méthode à proposer Exemple à trouver

Courbe d'équation polaire

On cherche les asympotes à la courbe d'équation r = ρ(θ) lorsque r ou θ tend vers l'infini

Droite asymptote

À faire

Cercle asympote

À faire

Point asymptote

À faire

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