Folium de Descartes
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Le Folium de Descartes
Le Folium de Descartes

Étymologie et histoire

Le Folium de Descartes est une courbe mathématique étudiée tout d'abord par Descartes et Roberval en 1638 (lors d'une correspondance avec Mersenne) puis étudiée par Huygens en 1672. Cette courbe (En géométrie, le mot courbe, ou ligne courbe désigne certains sous-ensembles du plan, de l'espace usuels. Par exemple, les droites, les segments, les...) met en évidence les faiblesses de la méthode de Fermat dans la recherche (La recherche scientifique désigne en premier lieu l’ensemble des actions entreprises en vue de produire et de développer les connaissances scientifiques. Par extension métonymique,...) des extremums d'une courbe algébrique (Une courbe algébrique est une courbe, le plus souvent plane, dont l’équation cartésienne peut se mettre sous forme polynômiale. Une courbe...).

La courbe possède une forme de nœud de ruban. Lors de leur étude, Descartes et Roberval se limitèrent à une boucle, ne considérant que les coordonnées positives (x>0,y>0) car ils pensaient que la boucle se répetait dans chaque quart de repère, à la manière des quatre pétales d'une fleur (La fleur est constituée par l’ensemble des organes de la reproduction et des enveloppes qui les entourent chez les angiospermes (aussi appelées plantes à fleurs). Après la pollinisation, la fleur est...) (d'ou son nom de folium = feuille). La méthode de détermination des tangentes à la courbe fut ensuite proposée par Roberval. La nature asymptotique des branches infinies ne fut établie qu'en 1692 par Huygens.

Définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.) mathématique

Le folium de Descartes () n'est en général pas défini par une propriété géométrique, c'est une cubique définie par :

  • son équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement pour poser le problème de leur identité. Résoudre...) cartésienne :
x3 + y3 = 3axy
  • ou par son équation polaire :
\rho=\frac{3a \sin(\theta) \cos(\theta)}{\cos(\theta)^3+\sin(\theta)^3}
  • ou par sa paramétrisation cartésienne :
\left\{\begin{matrix} x&=&\frac{3at}{1+t^3}\\ y&=&tx \end{matrix}\right.

a étant un réel quelconque.

L'aire de la boucle est égale à celle du domaine situé entre la courbe et son asymptote (Le terme d'asymptote est utilisé en mathématiques pour préciser des propriétés éventuelles d'une branche infinie de courbe à accroissement tendant vers l'infinitésimal. C'est d'abord un adjectif d'étymologie...) (d'équation x + y = − a) de valeur \frac{3a^2}{2} et admet l'origine comme point (Graphie) double.

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