Tétration - Définition

Introduction

La tétration (ou encore nappe exponentielle, hyperpuissance, tour de puissance, super-exponentiation ou hyper4) est une « exponentiation itérative », le premier hyper opérateur après l'exponentiation.

Le mot-valise tétration a été forgé par Reuben Goodstein sur la base du préfixe tétra- (quatre) et itération. La tétration est utilisée pour l'écriture des grands nombres. Elle suit l'addition, la multiplication et l'exponentiation comme indiqué ci-après :

1. addition

   

2. multiplication

   

3. exponentiation

   

4. tétration

   

chaque opération étant définie par itération à partir de la précédente.

L'addition (a+b) peut être définie comme b itérations de l'opération ajouter 1 appliquée à a, la multiplication (a.b) comme b itérations de l'opération ajouter a appliquée à a, et l'exponentiation (a^b) comme b itérations de l'opération multiplier par a appliquée à a. De manière analogue, la tétration (^ba) peut être considérée comme b itérations de l'opération porter à la puissance a appliquée à a.

On remarquera que lorsque l'on évalue une exponentiation à niveaux multiples, l'exponentiation est effectuée à un niveau le plus « profond » en premier lieu (en notation, au niveau le plus élevé). En d'autres termes :

n'est pas égal à .

Ceci est la règle générale pour l'ordre des opérations impliquant une exponentiation répétée.

Notation

Afin de généraliser le premier cas au-dessus (tétration), une nouvelle notation est nécessaire (voir ci-dessous); cependant, le second cas peut-être également écrit :

Donc, sa forme générale utilise toujours une notation d'exponentiation ordinaire.

Les notations dans lesquelles une tétration peut être notée (parmi celles permettant même des niveaux d'itérations plus élevés) incluent :

• la notation standard : ^ba, utilisée en premier lieu par Hans Maurer; cette notation a été popularisée le livre de Rudy Rucker, Infinity and the Mind.
• la notation des puissances itérées de Knuth : — peut être étendue en utilisant plus de flèches (ou de manière équivalente, une flèche indexée).
• la notation des flèches chaînées de Conway : — peut être étendue en augmentant le nombre 2 (équivalentes avec les extensions au-dessus), mais aussi, de manière plus performante, en étendant la chaîne.
• la notation hyper4 : — peut-être étendue en augmentant le nombre 4; cela donne la famille des hyper opérateurs.

Pour la fonction d'Ackermann, nous avons : , i.e. .

La flèche vers le haut est utilisée de manière identique au signe d'omission, ce qui fait que l'opérateur tétration peut être écrit comme ^^ en ASCII : a^^b.

Extension aux valeurs faibles du second opérand

En utilisant la relation (déduite de la définition de la tétration), on peut dériver (ou définir) les valeurs pour pour .

Cela confirme la définition intuitive de comme étant simplement n. Cependant, on ne peut plus définir plus de valeurs par itération supplémentaire de cette manière, puisque log_n0 est indéfini.

De la même manière, puisque log₁1 est aussi indéfini ( ), la dérivation au-dessus ne peut être produite lorsque n = 1. Ainsi, doit rester une quantité non définie, bien que puisse être défini sans problème comme étant égal à 1.

Parfois, 0⁰ est considéré comme quantité indéfinie. Dans ce cas, les valeurs pour ne peuvent être définie directement. Cependant, est bien défini, et existe :

Cette limite est également valable pour n négatif. pourrait être définie en termes de cette limite et devrait être en accord avec la définition de 0⁰ = 1 (si 0 est considéré comme pair).