Théorie des corps de classes - Définition

Historique

La généralisation prit place dans un projet historique à long terme impliquant les formes quadratiques, les lois de réciprocité (en), les travaux de Kummer et de Kronecker/Hensel sur les idéaux et ses achèvements, la théorie de la cyclotomie, les extensions de Kummer, les conjectures de Hilbert et les démonstrations par de nombreux mathématiciens (Takagi, Hasse, Artin, Furtwängler (en) et d'autres). Le théorème d'existence de Takagi crucial était connu en 1920 et tous les autres résultats principaux vers 1930. La propriété de principalisation est une des dernières conjectures classiques à avoir été démontrée.

Dans les années 1930 et ultérieurement, l'usage des extensions infinies et de la théorie de Krull sur leurs groupes de Galois a été considérée comme de plus en plus utile. Elle se mélange avec la dualité de Pontryagin pour donner une formulation plus claire mais plus abstraite du résultat central, la loi de réciprocité d'Artin (en). Elle est aussi basée sur la théorie d'Iwasawa.

Après que les résultats furent reformulés en termes de cohomologie galoisienne, avec la notion de formation de classes, ce domaine subit une relative stagnation. Le programme de Langlands lui donna une impulsion nouvelle, dans sa forme de « théorie non abélienne des corps de classes (en) » , bien que cette description puisse être à présent considérée comme restrictive si elle est confinée à la question de savoir comment les idéaux premiers se décomposent dans les extensions galoisiennes générales.