Tonneau (formules) - Définition

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Volume partiel en fonction de la hauteur de liquide

La génératrice est la parabole d'équation : y=\frac{2(d-D)}{L^2}x^2+\frac{D}{2}

  • Pour un tonneau couché

Soit h la hauteur de liquide

Soit x1 et x2 les bornes maximales selon les valeurs de h

x_1=\sqrt{\frac{h L^2}{2(D-d)}} et x_2=\sqrt{\frac{(D-d)L^2}{2(D-d)}}

V=\int S \mathrm dx

S représente le segment circulaire, de rayon y, de flèche y - \frac D2 + h .

S=y^2\left(\arccos \frac{D-2h}{2y} -\frac{D-2h}{2y}\sqrt{1-\left(\frac{D-2h}{2y}\right)^2}\right)

Si h\le\frac{D-d}{2} , alors

V=\int_0^{x_1} 2S \mathrm dx

Si \frac{D-d}{2}\le h \le \frac{D+d}{2} , alors

V=\int_0^\frac L2 2S \mathrm dx

Si h\ge\frac{D+d}{2} , alors

V=\int_0^{x_2} 2S\mathrm dx + \int_{x_2}^\frac{L}{2} 2\pi y^2\mathrm dx

  • Pour un tonneau debout

V=\int_{\frac L2 -h}^\frac L2 \pi y^2 \mathrm dx

\begin{align}V&=\pi\Biggl[\frac{4(d-D)^2}{5L^4}\left(\left(\frac L2\right)^5-\left(\frac L2-h\right)^5\right) \\ \ & +\frac{2D(d-D)}{3L^2}\left(\left (\frac L2\right)^3-\left(\frac L2-h\right)^3\right)+h\left(\frac D2\right)^2 \Biggr ] \end{align}

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