Transformation de Möbius - Définition

Les transformations de Möbius du plan complexe

Forme générale

Les transformations de Möbius conservant l'orientation sont de la forme

avec

Réciproquement une telle fonction est bien une transformation de Möbius par composition des fonctions suivantes ( ):

• (translation)
• (inversion par rapport à la sphère unité puis réflexion par rapport à la droite réelle)
• (homothétie)
• (translation)

Détermination d'une transformation de Möbius du plan

La résolution de g(z)=z montre qu'une transformation de Möbius est uniquement déterminée par l'image qu'elle donne de trois points distincts. Mieux, si z₁,z₂ et z₃ sont des points tous distincts ainsi que w₁,w₂,w₃, alors il existe une unique transformation de Möbius telle que g(z1) = w1, g(z2) = w2 et g(z₃) = w₃.

Pour montrer l'existence de g, il suffit de "déplacer" les points en composant g avec d'autres transformations. La transformation de Möbius vérifie: A(z₁) = 0, A(z₂) = 1 et , et de même on peut construire B telle que B(w₁) = 0, B(w₂) = 1 et . Alors la transformation g = B ^{− 1}A répond à la question.

Représentation par des matrices

On remarque que à la matrice ( ) on peut faire correspondre la transformation de Möbius g_A telle que . De plus un calcul algébrique trivial montre que: : on a ainsi un morphisme de groupe entre et .

De plus, pour tout , g_λA = g_A, donc on en restreignant φ à on a toujours une surjection dont le noyau est { − I₂, + I₂}. On a ainsi:

Extension de Poincaré

Nous avons vu dans les propriétés générales que les transformations de Möbius admettent une extension de Poincaré. Nous allons l'expliciter dans le cas d'une transformation du plan complexe en considérant comme le sous espace vectoriel du corps des quaternions de base (1,i,j). Si on a alors son extension de Poincaré a pour expression, pour tout :

Classification

En résolvant l'équation g(z) = z, on s'aperçoit qu'une transformation de Möbius du plan ne peut admettre que 1 ou 2 points fixes, ce qui pourrait être un critère de classification. Cependant, un critère plus précis est le nombre de points fixes de leur extension de Poincaré (1, 2 ou une infinité): si on définit les transformations normales m_k, par

si

on s'aperçoit que chaque transformation de Möbius est conjuguée à une unique transformation normale m_k, avec k = 1 ssi possède 1 point fixe, ssi a 2 point fixe, et ssi a une infinité de points fixes. Enfin, la trace au carré d'un représentant de g (qui est invariante par conjugaison et caractérise m_k modulo les conjugaisons) permet elle aussi de caractériser le nombre de points fixes de . On définit alors les termes de transformation loxodromique, parabolique ou elliptique, ce qui est résumé dans le tableau suivant:

Transformation	Points fixes de	Trace au carré σ	Forme normale	Représentant
Parabolique	1	σ = 4	m1
Loxodromique	2		k = λ2,λ − 2
Elliptique			mk, | k | = 1,

On peut encore affiner cette classification dans le cas loxodromique: g sera hyperbolique si sa trace au carré est réelle, strictement loxodromique dans le cas contraire.

Projection stéréographique

La projection stéréographique envoie le plan complexe sur la sphère de Riemann, sur laquelle on aperçoit plus aisément l'action des transformations de Möbius, comme en témoignent les représentations suivantes.

	Elliptique	Hyperbolique	Loxodromique
Un point fixe à l'infini
Points fixes diamétralement opposés
Points fixes arbitraires