Transformation de Möbius - Définition

Introduction

La transformation de Möbius ne doit pas être confondue avec la transformée de Möbius

Les transformations de Möbius sont de manière générale des automorphismes du compactifié d'Alexandrov de noté , définies comme la composée d'un nombre fini d'inversions par rapport à des plans ou des sphères.

En particulier, si on identifie à , alors on peut prouver que les transformations de Möbius conservant l'orientation sont de la forme:

avec a, b, c et d quatre complexes tels que

On étend alors cette fonction à en posant :

et .

Définition générale

Soit , on se place dans , et on définit alors les inversions de par rapport à un plan ou à une sphère:

• pour un hyperplan ( ), l'inversion par rapport à P(a,t) notée σ_P(a,t) est la réflexion par rapport à l'hyperplan P(a,t) et a pour expression:

si

• pour une sphère ( ) (, l'inversion par rapport à S(a,r) notée σ_S(a,r) s'exprime:

si

et

On remarque que les inversions sont involutives: si σ est une inversion, σ² = Id

De plus, ces inversions sont des homéomorphismes.

Définition: L'ensemble des transformations de Möbius, est le sous-groupe des homéorphismes de généré par les inversions, c'est-à-dire l'ensemble des composées d'un nombre fini d'inversions. On le note souvent .

Définition: Le groupe de Möbius est l'ensemble des transformations de Möbius qui préservent l'orientation. C'est un sous-groupe de .

Propriétés générales

Dorénavant, on appelle sphère soit une sphère soit un plan (Beardon, The Geometry Of Discrete Groups). En remarquant que les inversions transforment les sphères en sphères, on obtient:

Propriété: Les transformations de Möbius transforment les sphères en sphères

ce qui constitue une de leurs caractéristiques fondamentales.

Le théorème suivant est tout aussi important:

Théorème: Soit Σ une sphère et φ une transformation de Möbius qui fixe chaque point de Σ. Alors soit φ est l'identité, soit φ est l'inversion par rapport à Σ.

Il permet notamment de montrer l'unicité de l' extension de Poincaré d'une transformation : c'est l'unique élément qui conserve tel que si l'on considère comme un sous ensemble de dont la n+1 ième coordonnée est nulle. Pour démontrer l'existence d'une telle extension, il suffit de la définir pour les inversions, l'extension d'une composée d'inversions étant alors la composée des extensions de ces inversions. Si , on note l'élément de dont les n premières coordonnées sont celles de a, la n+1 ième étant nulle. L'inversion par rapport à P(a,t) sera alors naturellement étendue en l'inversion par rapport à , et de même . On a la propriété remarquable suivante:

Propriété: L'extension de Poincaré de est une isométrie de muni de la métrique hyperbolique .

Exemples de transformations de Möbius

Les principaux exemples de transformations de Möbius sont:

• Les translations (par composition de deux réflexions)
• Les isométries de (par composition de n réflexions au plus)
• Les homothéties 'par composition de deux inversions par rapport à des sphères puis d'une isométrie)

Une transformation de Möbius particulière est très utile en géométrie hyperbolique: l'inversion dans par rapport à la sphère , qui restreinte à correspond à la projection stéréographique de sur S_n = S(0,1) dans . C'est en fait le difféomorphisme naturel entre et B_{n + 1} = {x, | x | < 1}: il fait le pont entre deux points de vue pour la géométrie hyperbolique.