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Approximation

Introduction

Une approximation est une représentation grossière c'est-à-dire manquant de précision et d'exactitude, de quelque chose, mais encore assez significative pour être utile. Bien qu'une approximation soit le plus souvent effectuée sur les nombres, elle est également fréquemment appliquée à des objets tels que des fonctions mathématiques, des formes géométriques, et des lois physiques.

Des approximations peuvent être employées lorsqu'un manque d'information nous empêche d'utiliser des représentations exactes. Par exemple, nous devons déterminer la vitesse (On distingue :) moyenne (La moyenne est une mesure statistique caractérisant les éléments d'un ensemble de quantités : elle exprime la grandeur qu'auraient chacun des membres de l'ensemble s'ils étaient tous identiques sans...) d'un véhicule et nous ne connaissons pas sa vitesse instantanée mais seulement sa vitesse au départ et à l'arrivée. Par ailleurs, même lorsque la représentation exacte est connue, il peut être préférable d'employer une approximation (Une approximation est une représentation grossière c'est-à-dire manquant de précision et d'exactitude, de quelque chose, mais encore assez significative pour être utile. Bien qu'une approximation...) qui simplifie l'analyse sans une trop grande perte d'exactitude.

Par exemple, les physiciens rapprochent souvent la forme de la Terre (La Terre est la troisième planète du Système solaire par ordre de distance croissante au Soleil, et la quatrième par taille et par masse croissantes. C'est la plus grande et la plus massive des quatre...) à celle d'une sphère, même si des représentations plus précises sont possibles. En effet, de nombreux phénomènes physiques, comme par exemple la pesanteur (Le champ de pesanteur (ou plus couramment pesanteur) est un champ attractif auquel sont soumis tous les corps matériels au voisinage de la Terre : on observe ainsi qu'en un lieu donné tous les...), sont plus faciles à étudier en considérant une sphère plutôt que des formes moins régulières.

Le type d'approximation utilisé dépend de l'information disponible, du degré d'exactitude exigé, de la sensibilité du problème à ses données, et du gain de temps (Le temps est un concept développé par l'être humain pour appréhender le changement dans le monde.) et d'effort qui peut être réalisé par une approximation.

En science

La méthode scientifique (Un scientifique est une personne qui se consacre à l'étude d'une science ou des sciences et qui se consacre à l'étude d'un domaine avec la rigueur et les...) est appliquée avec une constante interaction (Une interaction est un échange d'information, d'affects ou d'énergie entre deux agents au sein d'un système. C'est une action réciproque qui suppose l'entrée en contact de sujets.) entre les lois scientifiques (théorie) et les mesures empiriques, qui sont constamment comparées les unes aux autres.

L'approximation se rapporte également à l'utilisation d'un processus plus simple. Ce modèle est employé pour faciliter des prévisions. En philosophie des sciences, il est souvent admis que les mesures empiriques ne sont rien de plus que des approximations; et elles ne représentent pas parfaitement les grandeurs mesurées. En histoire des sciences (La science, en tant que corpus de connaissances mais également comme manière d'aborder et de comprendre le monde, s'est constituée de façon progressive...), il apparaît que les lois scientifiques généralement considérées comme vraies à une période de l'histoire deviennent plus tard de simples approximations d'un certain système de lois plus profondes.

À chaque fois qu'un nouveau système de lois est proposé, il est exigé que dans des situations limites dans lesquelles les anciennes lois étaient expérimentées, les nouvelles lois restent presque identiques aux anciennes, aux incertitudes près des mesures plus anciennes. C'est ce qui s'appelle le principe de correspondance (La correspondance est un échange de courrier généralement prolongé sur une longue période. Le terme désigne des échanges de courrier personnels plutôt qu'administratifs.).

En mathématiques

En mathématiques, le terme « approximation » peut renvoyer à :

  • L'approximation de nombres : Les approximations numériques résultent parfois de l'emploi d'un nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) plus restreint de chiffres significatifs dans la représentation décimale d'un nombre. L'approximation diophantienne traite de l'approximation des nombres réels par les nombres rationnels. Le symbole \simeq ou \approx signifie « est approximativement égal à », et permet de donner une valeur approchée d'un nombre avec une certaine précision.
  • L'approximation de fonctions : La théorie de l'approximation est une branche des mathématiques, représentant une partie importante de l'analyse fonctionnelle (En mathématiques, le terme fonctionnelle se réfère à certaines fonctions. Initialement, le terme désignait les fonctions qui en prennent d'autres en argument. Aujourd'hui, le terme a été étendu,...). Les équivalents traitent de l'approximation d'une fonction quand un paramètre tend vers une valeur donnée.
  • L'approximation d'intégrales : Il existe également des méthodes numériques pour l'approximation des intégrales.
  • L'approximation de solutions d'équations : De nombreuses méthodes existent pour approcher numériquement la solution d'une équation. Citons entre autres la méthode de Newton qui utilise les dérivées successives pour approcher les solutions d'une fonction. Pour les équations aux dérivées partielles, des solutions approchées peuvent être trouvées grâce à la méthode des éléments finis, ainsi que de nombreuses autres méthodes d'analyse numérique.
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