Méthode des éléments finis - Définition

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- Introduction - Introduction - Exemples issus de problèmes physiques - Méthode des éléments finis

Introduction

Solution bidimensionnelle d'une équation magnétostatique obtenue par éléments finis (les lignes donnent la direction du champ et la couleur son intensité)

Maillage utilisé pour l'image du haut (le maillage est plus resserré autour de la zone d'intérêt)

Simulation numérique d'un Essai de choc sur une voiture: les cellules utilisées pour le maillage sont visibles sur la surface du véhicule.

En analyse numérique, la méthode des éléments finis est utilisée pour résoudre numériquement des équations aux dérivées partielles. Celles-ci peuvent par exemple représenter analytiquement le comportement dynamique de certains systèmes physiques (mécaniques, thermodynamiques, acoustiques, etc.).

Concrètement, cela permet par exemple de calculer numériquement le comportement d'objets même très complexes, à condition qu'ils soient continus et décrits par une équation aux dérivées partielles linéaire : mouvement d'une corde secouée par l'un de ses bouts, comportement d'un fluide arrivant à grande vitesse sur un obstacle, déformation d'une structure métallique, etc.

Introduction

La méthode des éléments finis fait partie des outils de mathématiques appliquées. Il s'agit de mettre en place, à l'aide des principes hérités de la formulation variationnelle ou formulation faible, un algorithme discret mathématique permettant de rechercher une solution approchée d’une équation aux dérivées partielles (ou EDP) sur un domaine compact avec conditions aux bords et/ou dans l'intérieur du compact. On parle couramment de conditions de type Dirichlet (valeurs aux bords) ou Neumann (gradients aux bords) ou de Robin (relation gradient/valeurs sur le bord).

Il s'agit donc avant tout de la résolution approchée d'un problème, où, grâce à la formulation variationnelle, les solutions du problème vérifient des conditions d'existence plus faibles que celles des solutions du problème de départ et où une discrétisation permet de trouver une solution approchée. Comme de nombreuses autres méthodes numériques, outre l'algorithme de résolution en soi, se posent les questions de qualité de la discrétisation :

existence de solutions,
unicité de la solution,
stabilité,
convergence,
et bien sûr : mesure d'erreur entre une solution discrète et une solution unique du problème initial.

La partie 2 va présenter le cadre général de la méthode des éléments finis, ainsi que le cas pratique le plus courant considérant des équations aux dérivées partielles linéaires dont on cherche une approximation par des fonctions affines.

La présentation en partie 3 est essentiellement physique, notamment mécanique. Elle ne doit être considérée que comme une présentation des éléments constitutifs de la modélisation discrète utilisée en résistance des matériaux via la méthode des éléments finis. C'est une approche tout à fait valide, un bon exemple pédagogique. Elle apporte un biais certain quant à une approche plus générale, du fait notamment de la linéarité supposée des matériaux.

Exemples issus de problèmes physiques

Historique

Analyse des structures née vers 1850
- RDM (Résistance des matériaux) ⇒ calculs « manuels »
  Maxwell, Castigliano, Mohr
- Concept d'éléments finis né vers 1940
  Newmark, Hrenikoff, Mc Henry, Courant
- Développement réel depuis 1960
  Calcul numérique sur ordinateur

Domaines d'application

Calcul de structures, étude des contacts, électricité, électromagnétisme, hydraulique, aérodynamique, finance, ingénierie biomédicale, ...

Principe

Le milieu continu est « idéalisé » par la subdivision en un nombre fini d'éléments dont le comportement est représenté par un nombre finis de paramètres.
La résolution du problème global, obtenu par assemblage des éléments, suit les règles qui régissent les structures discrètes.

Les difficultés

D'ordre théorique : formulation des éléments
D'ordre pratique :
- Discrétisation du milieu continu (maillage)
- Qualité des résultats (convergence de la méthode)

Exemple de problème discret : un réseau électrique

Problème discret

Équation locale du composant e :

$\left. \begin{matrix} I_i^e = {1 \over R^e} (U_i^e - U_j^e) \\ I_j^e = {1 \over R^e} (U_j^e - U_i^e) \end{matrix} \right\} \Longrightarrow \begin{Bmatrix} I_i^e \\ I_j^e \end{Bmatrix} = {1 \over R^e} \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix}\begin{Bmatrix} U_i^e \\ U_j^e \end{Bmatrix} \,$

soit $\left\{ I^e \right\} = \left[ K^e \right] \left\{ U^e \right\} \,$
On écrit :
- La continuité des potentiels en chaque connexion $i \,$
- L'équilibre des courants à chaque connexion
- L'adjonction des courants externes $P^i \,$
On obtient l'équation globale du système assemblé :

$P^i = \sum_{j=1}^m \sum_{e=1}^m K_{ij}^e U_j^e \,$

soit $\left\{ P \right\} = \left[ K \right] \left\{ U \right\} \,$

Définition d'un élément fini

Milieu continu

Milieu discrétisé

En calcul de structures, un élément fini est caractérisé par deux matrices :

La matrice de raideur $\left[ K \right] \,$
La matrice de masse $\left[ M \right] \,$

Formulation d'un élément fini

Définitions et notations

Déplacement : $\left\{ U \right\} \,$

C'est un vecteur dont chaque composante est également appelée degré de liberté

3 ddl de translation : $U_x,U_y,U_z \,$
3 ddl de rotation : $\theta_x,\theta_y,\theta_z \,$

Déformation : (voir Tenseur des déformations) $\left[ \epsilon \right] \,$

C'est le rapport de l'allongement à la longueur initiale.

En petites déformations, on a $(A'B')^2 = \left(\ dx + {\partial u \over \partial x} \ dx\right)^2 + \left({\partial v \over \partial x} \ dx\right)^2 \,$

$\epsilon_x = {{A'B'-AB} \over AB} \,$

Comme $AB=\ dx \,$ , on a $A'B'=(1+\epsilon_x)\ dx \,$

$\Rightarrow 2\epsilon_x+\epsilon_x^2 = 2{\partial u \over \partial x}+{\partial u \over \partial x}^2+{\partial v \over \partial x}^2 \,$

On néglige les termes d'ordre 2 :

$\epsilon_x = {\partial u \over \partial x} \,$

Remarque : $\epsilon \,$ est sans dimension

Contrainte : (voir Tenseur des contraintes) $\left[ \sigma \right] \,$

Elle représente les efforts internes qui s'appliquent dans la structure.

$\sigma_{11},\sigma_{22},\sigma_{33} \,$ : contraintes normales

$\sigma_{12},\sigma_{13},\sigma_{23} \,$ : contraintes de cisaillement

Une contrainte est homogène à une pression (N/m²)
Il existe un système de coordonnées dans lequel $\left[ \sigma \right] \,$ est une matrice diagonale : $\left[ \sigma \right] = \begin{bmatrix}\sigma_X & 0 & 0 \\ 0 & \sigma_Y & 0 \\ 0 & 0 & \sigma_Z\end{bmatrix} \,$

$\sigma_X,\sigma_Y,\sigma_Z \,$ sont appelées les contraintes principales

Relations Contraintes-Déformations : (voir Loi de Hooke) ≡ lois de comportement

$\begin{Bmatrix}\sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{33} \\ \sigma_{12} \\ \sigma_{23} \\ \sigma_{31}\end{Bmatrix} = {{E(1-\nu)} \over {(1+\nu)(1-2\nu)}} \begin{bmatrix}1 & {\nu \over {1-\nu}} & {\nu \over {1-\nu}} & 0 & 0 & 0 \\ & 1 & {\nu \over {1-\nu}} & 0 & 0 & 0 \\ & & 1 & 0 & 0 & 0 \\ & & & {(1-2\nu) \over {2(1-\nu)}} & 0 & 0 \\ & \mbox{(sym)} & & & {(1-2\nu) \over {2(1-\nu)}} & 0 \\ & & & & & {(1-2\nu) \over {2(1-\nu)}}\end{bmatrix} \begin{Bmatrix}\epsilon_{11} \\ \epsilon_{22} \\ \epsilon_{33} \\ \gamma_{12} \\ \gamma_{23} \\ \gamma_{31}\end{Bmatrix}\,$

$E \,$ : module de Young (N/m²)

$\nu \,$ : coefficient de Poisson (sans dimension)

On utilise parfois le module de cisaillement : $G = {E \over {2(1+\nu)}} \,$
Pour un matériau isotrope, il n'y a que 2 paramètres indépendants. Il y en a 6 pour un matériau isotrope transverse, 9 pour un matériau orthotrope et 21 pour un matériau anisotrope
En notation matricielle, on écrit : $\left\{ \sigma \right\} = \left[D\right]\left\{ \epsilon \right\} \,$

$\left[D\right] \,$ est appelée matrice d'élasticité du matériau.

Énergie de déformation : $W \,$

$W = {1 \over 2}\int_{v}\sigma.\epsilon.\ dv \,$

Travail d'une force :

C'est le produit de la force par le déplacement de son point d'application : $\tau_F = {1 \over 2}F.U_F \,$

Moment :

C'est une force appliquée sur un ddl de type rotation

Équations fondamentales

Équations d'équilibre local :

${\partial \sigma_x \over \partial x} + {\partial \sigma_{xy} \over \partial y} + {\partial \sigma_{xz} \over \partial z} + F_x = 0\,$

${\partial \sigma_y \over \partial y} + {\partial \sigma_{xy} \over \partial x} + {\partial \sigma_{yz} \over \partial z} + F_y = 0\,$

${\partial \sigma_z \over \partial z} + {\partial \sigma_{zx} \over \partial x} + {\partial \sigma_{zy} \over \partial y} + F_z = 0\,$

Relations déformations-déplacements :

${\epsilon_x= {\partial u \over \partial x}} \qquad {\epsilon_y= {\partial v \over \partial y}} \qquad {\epsilon_z= {\partial w \over \partial z}} \,$

$\gamma_{xz}={\partial w \over \partial x} + {\partial u \over \partial z} \,$

$\gamma_{xy}={\partial u \over \partial y} + {\partial v \over \partial x} \,$

$\gamma_{yz}={\partial w \over \partial y} + {\partial v \over \partial z} \,$

Symboliquement, on écrit $\{\epsilon\} = [S]\{U\} \,$

Signification du coefficient de Poisson

Si on applique au barreau une contrainte $\sigma_x \,$ , on observe un rétrécissement dans la direction y correspondant à une déformation $-\nu \sigma_x \over E \,$
Quelques valeurs usuelles :

Acier : E = 2,1E11 N/m² = 210 000 MPa $\nu \,$ = 0,3
Aluminium : E = 7E10 N/m² = 70 000 MPa $\nu \,$ = 0,3

Remarques : On a toujours -1 $\le \nu \le \,$ 0,5
Quand $\nu \to \,$ 0.5, le matériau est dit incompressible.

Exemple de formulation : Barre en traction

On suppose que le déplacement en tout point de la barre est donné par un polynôme du 1^er degré : $u(x) = a_1 + a_2 x \,$

On a $u(0) = u_1 \,$ et $u(L) = u_2 \,$

d'où $u(x) = u_1\left(1-{x \over L} \right) + {x \over L} u_2 \,$

qu'on écrit symboliquement : $u(x) = [N(x)]\{U\} \,$ avec $\left|\begin{matrix}[N(x)] & = & \left[ \left(1-{x \over L}\right) ; \left({x \over L}\right) \right] \\ \{U\} & = & \begin{Bmatrix}u_1 \\ u_2 \end{Bmatrix} \end{matrix}\right. \,$
On en déduit :

$\epsilon = \left[-{1 \over L} ; {1 \over L} \right]\begin{Bmatrix}u_1 \\ u_2\end{Bmatrix} = [B]\{U\} \,$

$\sigma = E\left[-{1 \over L} ; {1 \over L} \right]\begin{Bmatrix}u_1 \\ u_2\end{Bmatrix} = [D]\epsilon \,$

D'autre part, on a par définition :

$\begin{Bmatrix}F_1 \\ F_2 \end{Bmatrix} = \begin{Bmatrix}-\sigma S \\ \sigma S \end{Bmatrix} \,$ où S est l'aire de la section de la barre.

On pose :

$\{F\} = \begin{Bmatrix}F_1 \\ F_2 \end{Bmatrix} = [A]\sigma \qquad \mbox {avec} \qquad \{A\} = S \begin{Bmatrix}-1 \\ 1 \end{Bmatrix} \,$

On obtient finalement :

$\{F\} = [A][D][B]\{U\} \,$

Soit une relation du type :

$\{F\} = [K]\{U\} \qquad \mbox {avec} \qquad [K] = [A][D][B] \,$

En explicitant :

$[K] = {ES \over L} \begin{bmatrix}1 & -1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix} \,$

On voit que la matrice de rigidité se calcule comme le produit de 3 matrices :

$[B] \,$ : Transformation des déplacements aux déformations

$[D] \,$ : Matrice d'élasticité du matériau

$[A] \,$ : Transformation des contraintes en forces

Formulation générale (méthode directe)

La démarche est la suivante :

On exprime le déplacement $\{u(x)\}\,$ en tout point de l'élément en fonction des déplacements aux nœuds $\{u(x)\} = [N(x)]\{U\}\,$
On exprime les déformations en fonction des déplacements $\{\epsilon(x)\}=[S]\{u(x)\}\,$

d'où $\{\epsilon(x)\}=[S]\{N(x)\}\{U\}=[B(x)]\{U\}\,$

On écrit la loi de comportement du matériau qui relie les contraintes aux déformations : $\{\sigma(x)\}=[D]\{\epsilon(x)\}\,$
On écrit que le travail des forces externes appliquées à la structure pour un déplacement virtuel $\delta U \,$ est égal au travail interne des contraintes pour ce même déplacement :

$\{\delta U\}^T\{F\}=\int_V \{\delta \epsilon\}^T\{\sigma\} dv \,$

En explicitant, on a :

$\{\delta U\}^T\{F\}=\{\delta U\}^T \left (\int_V [B]^T[D][B] dv \right ) \{U\} \,$

Comme cette relation est vraie pour tout déplacement virtuel, on en déduit :

$\{F\}=[K]\{U\} \,$

avec $[K] \,$ sous sa forme plus générale : $[K]=\int_V [B]^T[D][B] dv \,$

Remarques :

La relation ci-dessus montre que $[K] \,$ est symétrique.
Le terme courant $K_{ij} \,$ de la matrice correspond à la force qui s'exerce sur le nœud $j \,$ lorsqu'on impose un déplacement unitaire du nœud $i \,$ .

La symétrie de $[K] \,$ qui s'écrit $K_{ij} = K_{ji} \,$ correspond mécaniquement au théorème de réciprocité de Maxwell-Betti.

Qu'est-ce qui va différencier les différents types d'éléments finis ?

Le choix des fonctions N(x)
La nature de l'opérateur S (reliant déformations et déplacements) qui dépend du type de théorie élastique utilisée :

théorie des poutres
théorie des plaques
théorie de la contrainte ou de la déformation plane
théorie des coques
théorie des corps de révolution
théorie de l'élasticité 3D

Remarques :
Nous avons décrit le processus de formulation d'un élément fini dans le cadre de la méthode directe.(dite aussi méthode des déplacements) Il existe d'autres approches :

La méthode des résidus pondérés
L'application du principe des travaux virtuels ou des puissances virtuelles
La minimisation de l'énergie potentielle

Toutes ces approches sont équivalentes et aboutissent à la construction de la même matrice de rigidité.

Éléments finis en contraintes

Au lieu de rechercher une solution approchée en déplacement, on peut aussi rechercher la solution approchée en contrainte.

Dans le cas de la mécanique, l'application du principe des puissances virtuelles donne de manière non triviale les théorèmes énergétiques. On peut aboutir au même résultat en quelques lignes en écrivant l'erreur en relation de comportement.

L'approche en contrainte consiste à rechercher dans l'espace des champs de contraintes admissibles celui qui réalise le minimum de l'énergie complémentaire.

Cette approche est plus précise que l'approche en déplacement mais elle est peu développée du fait de la difficulté que l'on a à générer des champs de contraintes de divergence donnée.

Étude des fonctions N(x)

Dans le cas général de l'élasticité tridimensionnelle, ce sont en fait des fonctions de x, y, z.
Les fonctions les plus couramment utilisées sont des polynômes.

Polynôme de degré 1 : élément linéaire (2 nœuds par arête)
Polynôme de degré 2 : élément parabolique (3 nœuds par arête)
Polynôme de degré 3 : élément cubique (4 nœuds par arête)

etc.

Les fonctions N(x) sont appelées fonctions de forme ou fonctions d'interpolation de l'élément.

Les éléments isoparamétriques

$[K]=\int_V [B]^T[D][B] dv \,$

Problème

Soit on construit $[K] \,$ pour un certain nombre d'éléments de forme et de géométrie figée ⇒ nécessité, pour mailler une structure complexe, d'utiliser un grand nombre d'éléments.
Soit on utilise des éléments à géométries variables ⇒ il faut reconstruire $[K] \,$ à chaque fois.

D'où l'idée

Pour construire la matrice de raideur d'un élément à géométrie variable, on va utiliser des fonctions d'interpolation pour décrire non seulement le champ de déplacement de l'élément mais également sa géométrie. De plus, on va travailler en coordonnées locales.

Interpolation de la géométrie

$\begin{matrix}x &=&\ &\tilde N_1(x)x_1 + \tilde N_2(x)x_2 \\ \ &\ &+&\tilde N_3(x)x_3 + \tilde N_4(x)x_4\end{matrix} \,$

Idem pour les autres coordonnées.

Coordonnées locales (cas 2D)

Élément isoparamétrique

Un élément est dit isoparamétrique si on prend les mêmes fonctions d'interpolation pour le déplacement et la géométrie.
$\tilde N(x) = N(x) \,$

Autres classes d'éléments

Évaluation de K

La forme générale s'écrit :
$[K]=\int_x \int_y \int_z G(x,y,z) dxdydz \,$
On passe en variables locales $\xi,\eta,\zeta \,$
On a $dxdydz = \det J\ d\xi d\eta d\zeta \,$

$J \,$ s'appelle la matrice Jacobienne.

On est alors amené à calculer des intégrales du type :
$\int_{-1}^{+1} \int_{-1}^{+1} \int_{-1}^{+1} G(\xi ,\eta ,\zeta) \det J\ d\xi d\eta d\zeta \,$

Bénéfice de l'approche

On s'est ramené à un domaine d'intégration simple et invariant pour lequel on peut appliquer les formules de quadrature de gauss :
$\int_{-1}^{+1} f(x) dx = \sum_{k=1}^n H_k f(a_k) \,$ les $a_k \,$ et $H_k \,$ étant tabulés.
Les $a_k \,$ sont appelés points d'intégration de l'élément ou encore points de Gauss de l'élément.

Cas particulier : les éléments axisymétriques

Décomposition en série de Fourier :

$u(r,\theta,z) = \sum_n u_n^s(r,z)\cos (n\theta) + \sum_n u_n^s(r,z)\sin (n\theta) \,$

L'axisymétrie correspond à la restriction $n=0 \,$ de cette décomposition.

$u(r,\theta,z) = u_n^s (r,z) \,$

Remarque importante : Pour utiliser ce type d'élément, le problème doit être globalement axisymétrique :

la géométrie
les conditions limites
le chargement

Processus de calcul (cas statique)

Maillage
Construction de la matrice de raideur de chaque élément $[K^e] \,$
Assemblage de la matrice globale $[K] \,$
Construction du vecteur chargement $\{F\} \,$
Élimination de certains ddl (si besoin)
Résolution : $\{U\} = [K^{-1}]\{F\} \,$
Calcul des quantités dérivées de $\{U\} \,$

$\{\epsilon^e\} = [B^e] \{U^e\} \,$

$\{\sigma^e\} = [D^e] \{\epsilon^e\} \,$

$W^e = {1 \over 2} \{\epsilon^e\}^T \{\sigma^e\} \,$

etc.

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