Solution bidimensionnelle d'une équation magnétostatique obtenue par éléments finis (les lignes donnent la direction du champ et la couleur son intensité)
Maillage utilisé pour l'image du haut (le maillage est plus resserré autour de la zone d'intérêt)
Simulation numérique d'un Essai de choc sur une voiture: les cellules utilisées pour le maillage sont visibles sur la surface du véhicule.
En analyse numérique, la méthode des éléments finis est utilisée pour résoudre numériquement des équations aux dérivées partielles. Celles-ci peuvent par exemple représenter analytiquement le comportement dynamique de certains systèmes physiques (mécaniques, thermodynamiques, acoustiques, etc.).
Concrètement, cela permet par exemple de calculer numériquement le comportement d'objets même très complexes, à condition qu'ils soient continus et décrits par une équation aux dérivées partielles linéaire : mouvement d'une corde secouée par l'un de ses bouts, comportement d'un fluide arrivant à grande vitesse sur un obstacle, déformation d'une structure métallique, etc.
Introduction
La méthode des éléments finis fait partie des outils de mathématiques appliquées. Il s'agit de mettre en place, à l'aide des principes hérités de la formulation variationnelle ou formulation faible, un algorithme discret mathématique permettant de rechercher une solution approchée d’une équation aux dérivées partielles (ou EDP) sur un domaine compact avec conditions aux bords et/ou dans l'intérieur du compact. On parle couramment de conditions de type Dirichlet (valeurs aux bords) ou Neumann (gradients aux bords) ou de Robin (relation gradient/valeurs sur le bord).
Il s'agit donc avant tout de la résolution approchée d'un problème, où, grâce à la formulation variationnelle, les solutions du problème vérifient des conditions d'existence plus faibles que celles des solutions du problème de départ et où une discrétisation permet de trouver une solution approchée. Comme de nombreuses autres méthodes numériques, outre l'algorithme de résolution en soi, se posent les questions de qualité de la discrétisation :
et bien sûr : mesure d'erreur entre une solution discrète et une solution unique du problème initial.
La partie 2 va présenter le cadre général de la méthode des éléments finis, ainsi que le cas pratique le plus courant considérant des équations aux dérivées partielles linéaires dont on cherche une approximation par des fonctions affines.
La présentation en partie 3 est essentiellement physique, notamment mécanique. Elle ne doit être considérée que comme une présentation des éléments constitutifs de la modélisation discrète utilisée en résistance des matériauxvia la méthode des éléments finis. C'est une approche tout à fait valide, un bon exemple pédagogique. Elle apporte un biais certain quant à une approche plus générale, du fait notamment de la linéarité supposée des matériaux.
Le milieu continu est « idéalisé » par la subdivision en un nombre fini d'éléments dont le comportement est représenté par un nombre finis de paramètres.
La résolution du problème global, obtenu par assemblage des éléments, suit les règles qui régissent les structures discrètes.
Relations Contraintes-Déformations : (voir Loi de Hooke) ≡ lois de comportement
: module de Young (N/m²)
: coefficient de Poisson (sans dimension)
On utilise parfois le module de cisaillement :
Pour un matériau isotrope, il n'y a que 2 paramètres indépendants. Il y en a 6 pour un matériau isotrope transverse, 9 pour un matériau orthotrope et 21 pour un matériau anisotrope
En notation matricielle, on écrit :
est appelée matrice d'élasticité du matériau.
Énergie de déformation :
Travail d'une force :
C'est le produit de la force par le déplacement de son point d'application :
Moment :
C'est une force appliquée sur un ddl de type rotation
Équations fondamentales
Équations d'équilibre local :
Relations déformations-déplacements :
Symboliquement, on écrit
Signification du coefficient de Poisson
Si on applique au barreau une contrainte
, on observe un rétrécissement dans la direction y correspondant à une déformation
Quelques valeurs usuelles :
Acier : E = 2,1E11 N/m² = 210 000 MPa
= 0,3
Aluminium : E = 7E10 N/m² = 70 000 MPa
= 0,3
Remarques : On a toujours -1
0,5 Quand
0.5, le matériau est dit incompressible.
Exemple de formulation : Barre en traction
On suppose que le déplacement en tout point de la barre est donné par un polynôme du 1er degré :
On a
et
d'où
qu'on écrit symboliquement :
avec
On en déduit :
D'autre part, on a par définition :
où S est l'aire de la section de la barre.
On pose :
On obtient finalement :
Soit une relation du type :
En explicitant :
On voit que la matrice de rigidité se calcule comme le produit de 3 matrices :
: Transformation des déplacements aux déformations
: Matrice d'élasticité du matériau
: Transformation des contraintes en forces
Formulation générale (méthode directe)
La démarche est la suivante :
On exprime le déplacement
en tout point de l'élément en fonction des déplacements aux nœuds
On exprime les déformations en fonction des déplacements
d'où
On écrit la loi de comportement du matériau qui relie les contraintes aux déformations :
On écrit que le travail des forces externes appliquées à la structure pour un déplacement virtuel
est égal au travail interne des contraintes pour ce même déplacement :
En explicitant, on a :
Comme cette relation est vraie pour tout déplacement virtuel, on en déduit :
avec
sous sa forme plus générale :
Remarques :
La relation ci-dessus montre que
est symétrique.
Le terme courant
de la matrice correspond à la force qui s'exerce sur le nœud
lorsqu'on impose un déplacement unitaire du nœud
.
théorie de la contrainte ou de la déformation plane
théorie des coques
théorie des corps de révolution
théorie de l'élasticité 3D
Remarques : Nous avons décrit le processus de formulation d'un élément fini dans le cadre de la méthode directe.(dite aussi méthode des déplacements) Il existe d'autres approches :
La méthode des résidus pondérés
L'application du principe des travaux virtuels ou des puissances virtuelles
Toutes ces approches sont équivalentes et aboutissent à la construction de la même matrice de rigidité.
Éléments finis en contraintes
Au lieu de rechercher une solution approchée en déplacement, on peut aussi rechercher la solution approchée en contrainte.
Dans le cas de la mécanique, l'application du principe des puissances virtuelles donne de manière non triviale les théorèmes énergétiques. On peut aboutir au même résultat en quelques lignes en écrivant l'erreur en relation de comportement.
L'approche en contrainte consiste à rechercher dans l'espace des champs de contraintes admissibles celui qui réalise le minimum de l'énergie complémentaire.
Cette approche est plus précise que l'approche en déplacement mais elle est peu développée du fait de la difficulté que l'on a à générer des champs de contraintes de divergence donnée.
Étude des fonctions N(x)
Dans le cas général de l'élasticité tridimensionnelle, ce sont en fait des fonctions de x, y, z.
Les fonctions les plus couramment utilisées sont des polynômes.
Polynôme de degré 1 : élément linéaire (2 nœuds par arête)
Polynôme de degré 2 : élément parabolique (3 nœuds par arête)
Polynôme de degré 3 : élément cubique (4 nœuds par arête)
etc.
Les fonctions N(x) sont appelées fonctions de forme ou fonctions d'interpolation de l'élément.
Les éléments isoparamétriques
Problème
Soit on construit
pour un certain nombre d'éléments de forme et de géométrie figée ⇒ nécessité, pour mailler une structure complexe, d'utiliser un grand nombre d'éléments.
Soit on utilise des éléments à géométries variables ⇒ il faut reconstruire
à chaque fois.
D'où l'idée
Pour construire la matrice de raideur d'un élément à géométrie variable, on va utiliser des fonctions d'interpolation pour décrire non seulement le champ de déplacement de l'élément mais également sa géométrie. De plus, on va travailler en coordonnées locales.
Interpolation de la géométrie
Idem pour les autres coordonnées.
Coordonnées locales (cas 2D)
Élément isoparamétrique
Un élément est dit isoparamétrique si on prend les mêmes fonctions d'interpolation pour le déplacement et la géométrie.
Autres classes d'éléments
Évaluation de K
La forme générale s'écrit : On passe en variables locales
On a
s'appelle la matrice Jacobienne.
On est alors amené à calculer des intégrales du type :
Bénéfice de l'approche
On s'est ramené à un domaine d'intégration simple et invariant pour lequel on peut appliquer les formules de quadrature de gauss : les
et
étant tabulés. Les
sont appelés points d'intégration de l'élément ou encore points de Gauss de l'élément.