Automorphisme de corps non continu de C
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Le seul automorphisme de corps de \mathbb{R} est l'identité et que les seuls automorphismes de corps continus de \mathbb{C} sont l'identité et la conjugaison. L'usage de l'axiome du choix (à deux reprises) permet de construire d'autres automorphismes de corps de \mathbb{C}.

Soit E l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être comprise comme un tout », comme...) des sous-corps de \mathbb{C} ne contenant pas \sqrt{2}. E est non vide (Le vide est ordinairement défini comme l'absence de matière dans une zone spatiale.) (car il contient par exemple \mathbb{Q}) et ordonné (partiellement) par l'inclusion. On vérifie aisément que c'est alors un ensemble inductif. D'après le lemme de Zorn (Le lemme de Zorn, appelé aussi lemme de Kuratowski-Zorn, est un théorème de la théorie des ensembles qui affirme :), il possède donc un élément maximal K.

La maximalité de K permet de montrer que l'extension K(\sqrt{2}) \to \mathbb{C} est algébrique et \mathbb{C} est algébriquement clos ; tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) automorphisme de corps de K(\sqrt{2}) se prolonge donc en un automorphisme de corps de \mathbb{C} (ce résultat est classique et utilise lui aussi l'axiome (Un axiome (du grec ancien αξιωμα/axioma, « considéré comme digne, convenable, évident en soi ») désigne une vérité indémontrable qui doit être...) du choix). En considérant l'automorphisme de K(\sqrt{2}) fixant K point (Graphie) par point et envoyant \sqrt{2} sur -\sqrt{2}, on obtient alors un automorphisme de corps de \mathbb{C} autre que l'identité et la conjugaison : il n'est donc pas continu et même discontinu en tout point. On peut ensuite démontrer qu'il n'est pas mesurable et que l'image de \mathbb{R} est dense : ainsi, l'axiome du choix entraîne l'existence d'un sous-corps dense de \mathbb{C} isomorphe à \mathbb{R}.

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