Automorphisme de corps non continu de C - Définition

Le seul automorphisme de corps de est l'identité et que les seuls automorphismes de corps continus de sont l'identité et la conjugaison. L'usage de l'axiome du choix (à deux reprises) permet de construire d'autres automorphismes de corps de .

Soit E l'ensemble des sous-corps de ne contenant pas . E est non vide (car il contient par exemple ) et ordonné (partiellement) par l'inclusion. On vérifie aisément que c'est alors un ensemble inductif. D'après le lemme de Zorn, il possède donc un élément maximal K.

La maximalité de K permet de montrer que l'extension est algébrique et est algébriquement clos ; tout automorphisme de corps de se prolonge donc en un automorphisme de corps de (ce résultat est classique et utilise lui aussi l'axiome du choix). En considérant l'automorphisme de fixant K point par point et envoyant sur , on obtient alors un automorphisme de corps de autre que l'identité et la conjugaison : il n'est donc pas continu et même discontinu en tout point. On peut ensuite démontrer qu'il n'est pas mesurable et que l'image de est dense : ainsi, l'axiome du choix entraîne l'existence d'un sous-corps dense de isomorphe à .