Ensemble totalement ordonné
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Définition

Soit E un ensemble muni d'une relation d'ordre \preceq. Rappelons que toute relation d'ordre \preceq\, vérifie les propriétés suivantes:

  • (réflexivité) \forall x,\ x \preceq x.
  • (transitivité) \forall x,y,z,\ \bigl( x\preceq y \mathrm{\ et\ } y \preceq z\bigr) \Rightarrow x\preceq z.
  • (antisymétrie) \forall x,y,\ \bigl(x\preceq y \mathrm{\ et\ } y \preceq x\bigr) \Rightarrow x = y.

(E,\preceq) est un ensemble totalement ordonné (Soit E un ensemble muni d'une relation d'ordre . Rappelons que toute relation d'ordre vérifie les propriétés suivantes:) si, en outre, tous les élements de (E,\preceq) sont comparables pour \preceq :

  • \forall x,y,\ \bigl(x\preceq y \mathrm{\ ou\ } y \preceq x\bigr).

Exemples

  1. L'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude...) E=\bigl\{\ \emptyset,\ \{1\},\ \{2\},\ \{1,2\} \bigr\} des parties finies de {1,2} est ordonné par la relation d'inclusion. Cependant, E n'est pas totalement ordonné: {1} et {2} ne sont pas comparables au sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but l'extension radicale de l'espérance de vie humaine. Par une évolution progressive allant du ralentissement du...) de l'inclusion.
  2. L'ensemble \mathbb{R}\, des nombres réels muni de la relation d'ordre usuelle {}\leq{} est totalement ordonné.
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