Affinité (mathématiques)
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En mathématiques, en géométrie en particulier, une affinité est une application affine ou linéaire égale à l'identité dans une direction et à une homothétie dans une autre.

Affinité vectorielle

Figure 1. Construction d'une affinité
Figure 1. Construction d'une affinité

Les affinités vectorielles sont les endomorphismes qui sont somme directe de l'identité et d'une homothétie (Une homothétie est une transformation géométrique, c'est-à-dire une règle qui associe à chaque point d’un espace un point de ce même espace. On dit...). Plus précisément :

Soit E\, un espace vectoriel (En algèbre linéaire, un espace vectoriel est une structure algébrique permettant en pratique d'effectuer des combinaisons linéaires. Pour une introduction au concept de vecteur, voir...) et deux sous espaces supplémentaires F\, et G\, (E=F \oplus G) ;

l'affinité de base F\, (ou sur F\,), de direction G \, et de rapport \lambda\, est l'unique endomorphisme f\, qui se restreint à F\, en l'identité, et à G\, en l'homothétie de rapport \lambda\, :

Si x=x_F+ x_G\, alors f(x) = x_F + \lambda x_G\,.

Caractérisation en dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur, ou bien son diamètre si c'est une...) finie : endomorphisme diagonalisable ayant deux valeurs propre au plus dont une est l'unité.

Les affinités recouvrent :

  • l'identité (\lambda=1\,)
  • les projections, ou projecteurs (\lambda=0\,)
  • les symétries, ou involutions linéaires (\lambda=-1\,), se réduisant à l'identité si la caractéristique du corps est 2)
  • les homothéties ( G=E\,)
  • les dilatations, ou affinités hyperplanes, (\dim G=1\,).

Affinité ponctuelle

Étant donné un sous-espace affine (En mathématiques, affine peut correspondre à :) F\, d'un espace affine (Historiquement, la notion d’espace affine est issue du choc dû à la découverte de nouvelles géométries parfaitement cohérentes, mais différant de celle d'Euclide par l'axiome des parallèles....) E\, associé à \overrightarrow E et une direction supplémentaire \overrightarrow G, l'affinité de base F\, (ou sur F\,) de direction \overrightarrow G\, et de rapport λ est l'application définie par la construction :

  1. pour tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) point (Graphie) M\, dans E\, on trace (TRACE est un télescope spatial de la NASA conçu pour étudier la connexion entre le champ magnétique à petite échelle du Soleil et la géométrie du plasma coronal, à travers des images haute...) l'unique sous-espace G_M\, passant par M\, et de direction \overrightarrow G ;
  2. G_M\, coupe F\, en un point unique H\, ;
  3. l'image de M\, par f\, est alors le point M'\, tel que \overrightarrow{HM'}=\lambda\overrightarrow{HM}.

Les applications affines de partie linéaire une affinité vectorielle sont des affinités ponctuelles à condition d'avoir au moins un point fixe ; dans le cas général, on obtient des affinités glissées, composées d'une affinité et d'une translation de vecteur (En mathématiques, un vecteur est un élément d'un espace vectoriel, ce qui permet d'effectuer des opérations d'addition et de multiplication par un scalaire. Un n-uplet peut constituer un exemple de vecteur,...) parallèle à la direction de l'affinité.

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