Affinité (mathématiques) - Définition

En mathématiques, en géométrie en particulier, une affinité est une application affine ou linéaire égale à l'identité dans une direction et à une homothétie dans une autre.

Affinité vectorielle

Figure 1. Construction d'une affinité

Les affinités vectorielles sont les endomorphismes qui sont somme directe de l'identité et d'une homothétie. Plus précisément :

Soit un espace vectoriel et deux sous espaces supplémentaires et () ;

l'affinité de base (ou sur ), de direction et de rapport est l'unique endomorphisme qui se restreint à en l'identité, et à en l'homothétie de rapport  :

Si alors .

Caractérisation en dimension finie : endomorphisme diagonalisable ayant deux valeurs propre au plus dont une est l'unité.

Les affinités recouvrent :

• l'identité ()
• les projections, ou projecteurs ()
• les symétries, ou involutions linéaires (), se réduisant à l'identité si la caractéristique du corps est 2)
• les homothéties ( )
• les dilatations, ou affinités hyperplanes, ().

Affinité ponctuelle

Étant donné un sous-espace affine d'un espace affine associé à et une direction supplémentaire , l'affinité de base (ou sur ) de direction et de rapport λ est l'application définie par la construction :

1. pour tout point dans on trace l'unique sous-espace passant par et de direction  ;
2. coupe en un point unique  ;
3. l'image de par est alors le point tel que .

Les applications affines de partie linéaire une affinité vectorielle sont des affinités ponctuelles à condition d'avoir au moins un point fixe ; dans le cas général, on obtient des affinités glissées, composées d'une affinité et d'une translation de vecteur parallèle à la direction de l'affinité.