En mathématiques, et plus précisément en algèbre, le terme de somme directe désigne des ensembles munis de certaines structures, construits à partir de la réunion d'autres ensembles du même type.
Soient F1 et F2 deux sous-espaces vectoriels de l’espace vectoriel E. On dit que F1 et F2 sont en somme directe si et seulement si pour tout élément u de F1 + F2, il existe un unique couple
On dit aussi dans ce cas que la somme F1 + F2 est directe.
En d'autres termes, la somme de deux sous-espaces vectoriels F1 et F2 est directe si la décomposition de tout élément de F1 + F2 en somme d'un élément de F1 et d'un élément de F2 est unique.
La somme sera alors notée :
On dispose des caractérisations usuelles suivantes :
Cas de la dimension finie : lorsque F1 et F2 sont de dimensions finies, la somme F1 + F2 est directe si et seulement si
Sous-espaces supplémentaires : deux sous-espaces F1 et F2 de E sont dits supplémentaires lorsque
On peut généraliser la notion de somme directe à une famille finie de sous-espaces vectoriels de E.
On dit qu'une famille
On dit aussi dans ce cas que la somme F des sous-espaces
En d'autres termes, la somme est directe si la décomposition de tout élément de
Pour désigner une somme directe, on se sert des notations
Comme dans le cas de 2 sous-espaces vectoriels, on peut caractériser les sommes directes par l'unicité de la décomposition du vecteur nul :
Remarque : dès que la famille comprend au moins 3 sous-espaces, il ne suffit pas pour que la somme soit directe que leurs intersections deux à deux soient réduites à
On s’en convaincra en regardant dans
Leurs intersections deux à deux sont réduites à {(0 ; 0)}, mais leur somme
En effet, les 3 vecteurs
En revanche, on montre que les sous-espaces de la famille des
Lorsque les sous-espaces vectoriels sont de dimensions finies, on a encore l'équivalence des assertions suivantes :
Exemple : soient E un espace vectoriel sur K de dimension finie, et f un endomorphisme de E ayant exactement p valeurs propres (distinctes) appelées
Pour tout entier i tel que 1 ≤ i ≤ p,
Les deux propriétés suivantes sont classiques :
On désigne ici par E un espace préhilbertien réel ou complexe (espace vectoriel réel ou complexe muni d'un produit scalaire). Soit une famille
Un exemple très simple est l'espace
Deux espaces qui sont à la fois supplémentaires et orthogonaux sont dits supplémentaires orthogonaux. Un sous-espace vectoriel F de E, même s'il a des supplémentaires, n'en a pas nécessairement un qui lui soit orthogonal. Une condition suffisante est que l'espace F soit complet (ce qui est réalisé en particulier s'il est de dimension finie). Cette question est liée à la possibilité d'effectuer une projection orthogonale.
Lorsque les sous-espaces vectoriels sont de dimensions finies, on a l'équivalence des assertions suivantes :