Étalonnage de caméra
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En traitement d'image, l'opération d'étalonnage d'une caméra revient à modéliser le processus de formation des images, c'est-à-dire trouver la relation entre les coordonnées spatiales d'un point de l'espace avec le point associé dans l'image prise par la caméra (Le terme caméra est issu du latin : chambre, pour chambre photographique. Il désigne un appareil de prise de vues animées, pour le cinéma, la télévision ou la vidéo.).

Modélisation

Plusieurs modèles décrivant le processus de formation des images existent. Le plus simple est le modèle du sténopé ou modèle pin-hole dans la littérature anglo-saxonne. Ce dernier est couramment utilisé en traitement d'image.

Notations

Il convient de préciser les repères orthonormés dans lesquels nous allons travailler pour modéliser le fonctionnement de la caméra :

Repères géométriques associés à l'étalonnage d'une caméra
Repères géométriques associés à l'étalonnage d'une caméra

Les repères associés sont :

  • (R_O,\vec{X_O}, \vec{Y_O}, \vec{Z_O}) : qui est le repère associé à l'espace de travail. O est l'origine de ce repère,
  • (R_C,\vec{X_C}, \vec{Y_C}, \vec{Z_C}) : qui est le repère associé à la caméra. C est le centre optique (L'optique est la branche de la physique qui traite de la lumière, du rayonnement électromagnétique et de ses relations avec la vision.) de la caméra,
  • (R_i,\vec{u},\vec{v}) : qui est le repère associé à l'image visualisée.

Un plan supplémentaire n'a pas été représenté ici qui est dans le repère associé à la caméra. C'est le plan image qui est à une distance f de C suivant la direction donnée (Dans les technologies de l'information, une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose, d'une transaction, d'un événement, etc.) par \vec{Z_C}. f est la distance focale (Les distances focales, respectivement objet et image, d'un système optique centré convergent ou divergent sont, par définition, les distances algébriques séparant respectivement le plan principal objet H du foyer objet F...) de la caméra.

Le modèle du sténopé

Appelé aussi modèle pin-hole dans la littérature anglo-saxonne, il s'agit d'une modélisation simple et linéaire du processus de formation des images au sein d'une caméra. Ce modèle suppose que le système optique de la caméra, c'est-à-dire sa lentille respecte les conditions de Gauss. Si l'on utilise la notation matricielle des coordonnées homogènes (En mathématique, les coordonnées homogènes, introduites par August Ferdinand Möbius, rendent les calculs possibles dans l'espace projectif comme les coordonnées cartésiennes le font dans...), il est possible de décrire de manière simple ce processus. Il suffit d'exprimer les relations de passage du repère monde (Le mot monde peut désigner :) au repère caméra, d'exprimer la projection (La projection cartographique est un ensemble de techniques permettant de représenter la surface de la Terre dans son ensemble ou en partie sur la surface plane d'une carte.) du repère caméra dans le plan image et d'appliquer la transformation affine (En mathématiques, affine peut correspondre à :) qui conduit aux coordonnées de l'image. La relation est la suivante pour un point (Graphie) M de coordonnées (X,Y,Z,1) dans l'espace (repère monde) et dont l'image est de coordonnées (su,sv,s) dans le plan image :
\left( \begin{matrix} su \\ sv \\ s \\ \end{matrix} \right) = \left[ \begin{matrix} k_u & s_{uv} & c_u \\ 0 & k_v & c_v \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right]  \left[ \begin{matrix} f & 0 & 0 & 0 \\ 0 & f & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ \end{matrix} \right]  \left[ \begin{matrix}  & & & t_x \\  & R_{3\times3} & & t_y \\  & & & t_z \\ 0&0&0&1 \end{matrix} \right]  \left( \begin{matrix} X \\ Y \\ Z \\ 1\\ \end{matrix} \right)

Les paramètres employés dans ce modèle sont usuellement divisés en deux catégories : les paramètres intrinsèques qui sont internes à la caméra, et les paramètres extrinsèques qui peuvent varier suivant la position de la caméra dans l'espace de travail. Parmi les paramètres intrinsèques nous comptons :

  • f : la distance focale,
  • ku et kv : les facteurs d'agrandissement de l'image,
  • cu et cv : les coordonnées de la projection du centre optique de la caméra sur le plan image,
  • suv : qui traduit la non-orthogonalité potentielle des lignes et des colonnes de cellules électroniques photosensibles qui composent le capteur (Un capteur est un dispositif transformant l'état d'une grandeur physique observée en une grandeur utilisable exemple : une tension électrique, une hauteur de mercure, une intensité, la...) de la caméra. La plupart du temps (Le temps est un concept développé par l'être humain pour appréhender le changement dans le monde.), ce paramètre (Un paramètre est au sens large un élément d'information à prendre en compte pour prendre une décision ou pour effectuer un calcul.) est négligé et prend donc une valeur nulle.

Les paramètres extrinsèques sont :

  • R_{3\times3} : qui est la matrice de rotation permettant de passer (Le genre Passer a été créé par le zoologiste français Mathurin Jacques Brisson (1723-1806) en 1760.) du repère lié à l'espace de travail au repère lié à la caméra,
  • tx,ty et tz : qui sont les composantes du vecteur (En mathématiques, un vecteur est un élément d'un espace vectoriel, ce qui permet d'effectuer des opérations d'addition et de multiplication par un scalaire. Un n-uplet peut constituer un exemple...) de translation permettant de passer du repère lié à l'espace de travail au repère lié à la caméra.

Au total ( Total est la qualité de ce qui est complet, sans exception. D'un point de vue comptable, un total est le résultat d'une addition, c'est-à-dire une somme. Exemple : "Le total des dettes". En...), cela fait 18 paramètres à estimer (la matrice de rotation en contient 9).

Étalonner la caméra consiste à déterminer la valeur numérique (Une information numérique (en anglais « digital ») est une information ayant été quantifiée et échantillonnée, par opposition à une...) des paramètres de ce modèle. Il est toutefois possible de les regrouper de manière différente (En mathématiques, la différente est définie en théorie algébrique des nombres pour mesurer l'éventuel défaut de dualité d'une application définie à l'aide de la trace, dans l'anneau des entiers d'un...), suivant la forme sous laquelle ce modèle doit ensuite être exploité. Ceci conduit à différentes variantes possibles du modèle.

Variantes du modèle du sténopé

Certaines variantes du modèle du sténopé regroupent les paramètres intrinsèques de la manière suivante :

\left[ \begin{matrix} \alpha_u & S_{uv} & u_0 & 0 \\ 0 & \alpha_v & v_0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0  \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} k_u & s_{uv} & c_u \\ 0 & k_v & c_v \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right]  \left[ \begin{matrix} f & 0 & 0 & 0 \\ 0 & f & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ \end{matrix} \right]

Sachant que l'expression f.suv est souvent considérée comme étant nulle, nous obtenons un nouveau jeu simplifié de paramètres intrinsèques :

  • αu et αv (parfois aussi appelés fx et fy dans la littérature) qui correspondent à la distance focale exprimée en largeurs et en hauteurs de pixels (ces derniers ne sont pas nécessairement carrés),
  • u0 et v0 qui sont les coordonnées de la projection du centre optique de la caméra sur le plan image.

Cette variante contient 17 paramètres à estimer. Elle présente l'avantage de séparer en deux matrices les paramètres intrinsèques et extrinsèques et donc d'isoler ces derniers qui changent de valeur à chaque fois que la caméra est déplacée dans l'espace de travail.

Une autre variante consiste à n'utiliser qu'une matrice globale de paramètres à estimer :

\left[ \begin{matrix} m_{11} & m_{12} & m_{13} & m_{14} \\ m_{21} & m_{22} & m_{23} & m_{24} \\ m_{31} & m_{32} & m_{33} & m_{34}  \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} k_u & s_{uv} & c_u \\ 0 & k_v & c_v \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right]  \left[ \begin{matrix} f & 0 & 0 & 0 \\ 0 & f & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ \end{matrix} \right]  \left[ \begin{matrix}  & & & t_x \\  & R_{3\times3} & & t_y \\  & & & t_z \\ 0&0&0&1 \end{matrix} \right]

Cette dernière ne présente que 12 paramètres à estimer mais il est nécessaire de les réestimer à chaque fois que la caméra est déplacée.

Toutefois, dans le cas des objectifs grand-angle, les conditions optiques de Gauss ne sont plus respectées, ce qui induit (L'induit est un organe généralement électromagnétique utilisé en électrotechnique chargé de recevoir l'induction de l'inducteur et de la transformer en électricité (générateur) ou en force (moteur).) des déformations optiques dans l'image finale dont il faut alors tenir compte.

Distortions optiques

Méthodes d'étalonnage

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