Fonction de Kummer
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En mathématiques, il existe plusieurs fonctions connues sous le nom fonction de Kummer. L'une d'elle est connue comme la fonction hypergéométrique confluente de Kummer et de E. T. Whittaker. Une autre, définie ci-dessous, est reliée à la fonction polylogarithme (La fonction polylogarithme (aussi connue sous le nom de fonction de Jonquière) est une fonction remarquable et peut être définie pour tout s et |z|). Les deux ont été nommées en l'honneur du mathématicien (Un mathématicien est au sens restreint un chercheur en mathématiques, par extension toute personne faisant des mathématiques la base de son activité principale. Ce terme recouvre une large...) Ernst Kummer.

La fonction de Kummer (En mathématiques, il existe plusieurs fonctions connues sous le nom fonction de Kummer. L'une d'elle est connue comme la fonction hypergéométrique confluente de Kummer et de E. T. Whittaker. Une autre, définie ci-dessous, est reliée à la...) est définie par

\Lambda_n(z)=\int_0^z \frac{\log^{n-1}|t|}{1+t}\;dt.

La formule de duplication est

\Lambda_n(z)+\Lambda_n(-z)= 2^{1-n}\Lambda_n(-z^2)\,.

Comparons celle-ci à la formule de duplication du polylogarithme :

\operatorname{Li}_n(z)+\operatorname{Li}_n(-z)= 2^{1-n}\operatorname{Li}_n(z^2).

Un lien explicite vers le polylogarithme est donné par

\operatorname{Li}_n(z)=\operatorname{Li}_n(1)\;\;+\;\; \sum_{k=1}^{n-1} (-1)^{k-1} \;\frac{\log^k |z|} {k!} \;\operatorname{Li}_{n-k} (z) \;\;+\;\; \frac{(-1)^{n-1}}{(n-1)!} \;\left[ \Lambda_n(-1) - \Lambda_n(-z) \right].

Publication

Leonard Lewin (Ed.). Structural Properties of Polylogarithms (1991) Providence, RI: American Mathematical Society, Providence RI. ISBN 0-8218-4532-2

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