Fonction polylogarithme
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La fonction polylogarithme (aussi connue sous le nom de fonction de Jonquière) est une fonction remarquable et peut être définie pour tout s et |z|<1 par :

Li_s(z) \equiv \sum_{k=1}^\infty {z^k \over k^s}

Le paramètre s et l'argument z sont pris sur l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une...) \mathbb{C}\,, l'ensemble des nombres complexes. Les cas particuliers s=2 et s=3 sont appelés le polylogarithme d'ordre 2 ou dilogarithme et le polylogarithme d'ordre 3 ou trilogarithme respectivement. Le polylogarithme apparaît aussi dans la forme fermée de l'intégrale (Une intégrale est le résultat de l'opération mathématique, effectuée sur une fonction, appelé intégration. Une intégrale est donc composée d'un intégrande (la...) de la distribution de Fermi-Dirac et la distribution de Bose-Einstein et est quelque fois connue comme l'intégrale de Fermi-Dirac ou l'intégrale de Bose-Einstein. Les polylogarithmes ne doivent pas être confondus avec les fonctions polylogarithmiques ni avec le logarithme intégral (En mathématiques, le logarithme intégral li est une fonction spéciale définie en tout nombre réel strictement positif x≠ 1 par l'intégrale :) qui possèdent une notation similaire.

Le polylogarithme est défini sur un intervalle de z plus grand que la définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.) ci-dessus permis par le processus de prolongement analytique.

Propriétés

Dans le cas important où le paramètre (Un paramètre est au sens large un élément d'information à prendre en compte pour prendre une décision ou pour effectuer un calcul.) s est un nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) entier, il sera représenté par n (ou -n lorsqu'il est négatif). Il est souvent pratique de définir \mu = \ln(z)\, où ln est la branche principale du logarithme naturel (En mathématiques le logarithme naturel ou logarithme népérien, est le logarithme de base e. C'est la réciproque de la fonction exponentielle de base e. C'est la...), c’est-à-dire - \pi < \Im(\mu) \le \pi\,. Ainsi, toute l'exponentiation sera supposée être à valeur unique. (e.g. z^s = e^{(s \ln(z))}\,).

Dépendant du paramètre s, le polylogarithme peut être à valeurs multiples. La branche principale du polylogarithme est choisi pour lequel Li_s(z)\, est réel pour z réel, 0 \le z \le 1\, et est continu excepté sur l'axe des réels positifs, où une coupure est faite de z=1 à \infty\, telle que la coupure place l'axe réel sur le demi-plan le plus bas de z. En termes de \mu\,, ceci s'élève à - \pi < \arg(-\mu) \le \pi\,. Le fait que le polylogarithme puisse être discontinu en \mu\, peut causer une certaine confusion.

Pour z réel et z \ge 1\,, la partie imaginaire du polylogarithme est (Wood) :

\textrm{Im}(Li_s(z)) = -{{\pi \mu^{s-1}}\over{\Gamma(s)}}

En traversant la coupure :

\lim_{\delta\rightarrow 0^+}\textrm{Im}(Li_s(z+i\delta)) = {{\pi \mu^{s-1}}\over{\Gamma(s)}}

Les dérivées du polylogarithme sont :

z{\partial Li_s(z) \over \partial z} = Li_{s-1}(z)
{\partial Li_s(e^\mu) \over \partial \mu} = Li_{s-1}(e^\mu)

Valeurs particulières

Voir aussi la section "#Relation de parenté avec les autres fonctions" ci-dessous.

Pour les valeurs entières de s, nous avons les expressions explicites suivantes :

Li_{1}(z)  = -\textrm{ln}\left(1-z\right)
Li_{0}(z)  = {z \over 1-z}
Li_{-1}(z) = {z \over (1-z)^2}
Li_{-2}(z) = {z(1+z) \over (1-z)^3}
Li_{-3}(z) = {z(1+4z+z^2) \over (1-z)^4}

Le polylogarithme, pour toutes les valeurs entières négatives de s, peut être exprimé comme un rapport de polynômes en z (Voir les représentations en série ci-dessous). Certaines expressions particulières pour les demies valeurs entières de l'argument sont :

Li_{1}\left(1/2\right) = \textrm{ln}(2)
Li_{2}(1/2) = {1 \over 12}[\pi^2-6(\ln 2)^2]
Li_{3}(1/2) = {1 \over 24}[4(\ln 2)^3-2\pi^2\ln 2+21\,\zeta(3)]

\zeta\, est la fonction Zeta (La fonction zeta (d'après la lettre grecque zêta, ou ζ) est le nom de nombreuses fonctions en mathématiques. La plus connue est la fonction zeta de Riemann.) de Riemann. Aucune formule similaire de ce type n'est connue pour des ordres plus élevés (Lewin, 1991 p2).

Expressions alternatives (Alternatives (titre original : Destiny Three Times) est un roman de Fritz Leiber publié en 1945.)

  • L'intégrale de la distribution de Bose-Einstein est exprimée en termes de polylogarithme :
    Li_{s+1}(z) \equiv {1 \over \Gamma(s+1)} \int_0^\infty {t^s \over e^t/z-1} dt
    Celle-ci converge pour \Re(s) > 0\, et tous les z excepté pour les z réels et \ge 1\,. Le polylogarithme dans ce contexte (Le contexte d'un évènement inclut les circonstances et conditions qui l'entourent; le contexte d'un mot, d'une phrase ou d'un texte inclut les mots qui l'entourent. Le...) est quelquefois connu comme l'intégrale de Bose ou l'intégrale de Bose-Einstein.
  • L'intégrale de la distribution de Fermi-Dirac est aussi exprimée en termes de polylogarithme :
    -Li_{s+1}(-z) \equiv {1 \over \Gamma(s+1)} \int_0^\infty {t^s \over e^t/z+1} dt.
    Celle-ci converge pour \Re(s) > 0\, et tous les z excepté pour les z réels et < -1. Le polylogarithme dans ce contexte est quelquefois connu comme l'intégrale de Fermi ou l'intégrale de Fermi-Dirac. (GNU)
  • Le polylogarithme peut plutôt être généralement représenté par une intégrale curviligne d'Hankel (Whittaker & Watson sect. 12.22, sect. 13.13). Tant que le pôle t=\mu\, de l'intégrande (Une intégrale est le résultat de l'opération mathématique, effectuée sur une fonction, appelé intégration. Une intégrale est donc composée d'un...) n'est pas relié à l'axe réel positif, et s \ne 1,2,3\ldots\,, nous avons :
    Li_s(e^\mu)={{-\Gamma(1-s)}\over{2\pi i}}\oint_H {{(-t)^{s-1}}\over{e^{t-\mu}-1}}dt
    H représente le contour d'Hankel. L'intégrande possède une coupure le long de l'axe réel de zéro (Le chiffre zéro (de l’italien zero, dérivé de l’arabe sifr, d’abord transcrit zefiro en italien) est un symbole marquant une position vide dans l’écriture des...) à l'infini (Le mot « infini » (-e, -s ; du latin finitus, « limité »), est un adjectif servant à qualifier quelque chose qui n'a...), l'axe réel étant sur la moitié inférieure de la feuille (La feuille est l'organe spécialisé dans la photosynthèse chez les végétaux supérieurs. Elle est insérée sur les tiges des plantes...) (\Im(t) \le 0\,). Pour le cas où \mu\, est réel et positif, nous pouvons simplement ajouter la contribution limitante du pôle :
    Li_s(e^\mu)=-{{\Gamma(1-s)}\over{2\pi i}}\oint_H {{(-t)^{s-1}}\over{e^{t-\mu}}-1}dt + 2\pi i R
    R est le résidu du pôle :
    R = {{\Gamma(1-s)(-\mu)^{s-1}}\over{2\pi}}
  • La relation carrée est facilement vue (La vue est le sens qui permet d'observer et d'analyser l'environnement par la réception et l'interprétation des rayonnements lumineux.) à partir de l'équation : (voir aussi Clunie, Schrödinger) :
    Li_s(-z) + Li_s(z) = 2^{1-s} ~ Li_s(z^2)
    Notons que la fonction de Kummer (En mathématiques, il existe plusieurs fonctions connues sous le nom fonction de Kummer. L'une d'elle est connue comme la fonction hypergéométrique confluente de...) obéit à une formule de duplication très similaire.

Relation de parenté avec les autres fonctions

  • Pour z=1, le polylogarithme se réduit à la fonction Zeta (ZETA est un système d'exploitation de la société allemande YellowTAB. Il est une évolution de BeOS.) de Riemann
    Li_s(1) = \zeta(s)~~~~~~~~~~~~~(\textrm{Re}(s)>1)
  • Le polylogarithme est relié à la fonction eta de Dirichlet (La fonction eta de Dirichlet peut être définie par) et la fonction beta (Le genre Beta appartient à la famille des Chénopodiacées, tribu des Cyclolobae.) de Dirichlet :
    Li_s(-1) = \eta\left(s\right)
    \eta(s)\, est la fonction eta de Dirichlet. Pour des arguments imaginaires purs, nous avons :
    Li_s(\pm i) = 2^{-s}\eta(s)\pm i \beta(s)
    \beta(s)\, est la fonction beta de Dirichlet.
  • Le polylogarithme est équivalent à l'intégrale de Fermi-Dirac (GNU)
    F_s(\mu)=-Li_{s+1}(-e^\mu)\,
  • Le polylogarithme est un cas particulier de la fonction transcendante de Lerch (Erdélyi sect. 1.11-14)
    Li_s(z)=z~\Phi(z,s,1)
  • Le polylogarithme est relié à la fonction zeta d'Hurwitz par :
    Li_s(e^{2\pi i x})+(-1)^s Li_s(e^{-2\pi i x})={(2\pi i)^s \over \Gamma(s)}~\zeta\left (1-s,x\right)
    \Gamma(s)\, est la fonction Gamma (La fonction gamma est, en mathématiques, une fonction complexe.) d'Euler. Ceci est valable pour
    \textrm{Re}(s)>1, \textrm{Im}(x)\ge 0, 0 \le \textrm{Re}(x) < 1
    et aussi pour
    \textrm{Re}(s)>1, \textrm{Im}(x)\le 0, 0 <   \textrm{Re}(x) \le 1
    (Notons que l'équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement pour poser le problème de leur identité. Résoudre...) équivalente d'Erdélyi sect. 1.11-16 n'est pas correcte si nous supposons que les branches principales du polylogarithme et le logarithme (En mathématiques, une fonction logarithme est une fonction définie sur à valeurs dans , continue et transformant un produit en somme. Le logarithme de base a...) sont utilisés simultanément). Cette équation fournit le prolongement analytique de la représentation en série du polylogarithme au-delà de son cercle (Un cercle est une courbe plane fermée constituée des points situés à égale distance d'un point nommé centre. La valeur de cette distance...) de convergence (Le terme de convergence est utilisé dans de nombreux domaines :) |z|=1.
  • En utilisant la relation entre la fonction zeta d'Hurwitz et les polynômes de Bernoulli :
    \zeta(-n,x)=-{B_{n+1}(x) \over n+1}
    qui reste valable pour tous les x et n=0,1,2,3,... il peut être remarqué que :
    Li_{n}(e^{2\pi i x})+ (-1)^n Li_{n}(e^{-2\pi i x})  = -{(2 \pi i)^n\over n!} B_n\left({x}\right)
    sous les mêmes contraintes sur s et x comme ci-dessus. (Notons que l'équation correspondante d'Erdélyi sect. 1.11-18 n'est pas correste) Pour les valeurs entières négatives du paramètre, nous avons pour tous les z (Erdélyi sect. 1.11-17) :
    Li_{-n}(z)+ (-1)^n Li_{-n}\left(1/z\right)=0~~~~~n=1,2,3\ldots
  • Le polylogarithme avec un \mu\, imaginaire pur peut être exprimé en termes de fonctions de Clausen Ci_s(\theta)\, et Si_s(\theta)\, (Lewin, 1958 Ch VII sect. 1.4, Abramowitz & Stegun sect. 27.8)
    Li_s(e^{\pm i \theta}) = Ci_s(\theta) \pm i Si_s(\theta)
  • La fonction tangente intégrale inverse (En mathématiques, l'inverse d'un élément x d'un ensemble muni d'une loi de composition interne · notée multiplicativement, est un élément...) Ti_s(z)\, (Lewin, 1958 Ch VII sect. 1.2) peut être exprimée en termes de polylogarithmes :
    Li_s(\pm iy)=2^{-s}Li_s(-y^2)\pm i\,Ti_s(y)
  • La fonction chi de Legendre (En mathématiques, la fonction chi de Legendre est définie par) \chi_s(z)\, (Lewin, 1958 Ch VII sect. 1.1, Boersma) peut être exprimée en termes de polylogarithmes :
    \chi_s(z)={1 \over 2}~[Li_s(z)-Li_s(-z)]
  • Le polylogarithme peut être exprimé comme une série de fonctions de Debye Z_n(z)\, (Abramowitz & Stegun sect. 27.1)
    Li_{n}(e^\mu)=\sum_{k=0}^{n-1}Z_{n-k}(-\mu){\mu^k \over k!}~~~~~~(n=1,2,3,\ldots)
    Une expression remarquablement similaire relie la fonction de Debye au polylogarithme :
    Z_n(\mu)=\sum_{k=0}^{n-1}Li_{n-k}(e^{-\mu}){\mu^k \over k!}~~~~~~(n=1,2,3,\ldots)

Représentations en séries

  • Nous pouvons représenter le polylogarithme comme une série de puissances pour \mu=0\, comme suit : (Robinson). Considérons la transformation de Mellin :
    M_s(r) =\int_0^\infty \textrm{Li}_s(fe^{-u})u^{r-1}\,du ={1 \over \Gamma(s)}\int_0^\infty\int_0^\infty {t^{s-1}u^{r-1} \over e^{t+u}/f-1}~dt~du
    Le changement de variables t=ab, u=a(1-b) permet à l'intégrale d'être séparée :
    M_s(r)={1 \over \Gamma(s)}\int_0^1 b^{r-1} (1-b)^{s-1}db\int_0^\infty{a^{s+r-1} \over e^a/f-1}da = \Gamma(r)\textrm{Li}_{s+r}(f)
    pour f=1 nous avons, à travers la transformation inverse de Mellin :
    Li_{s}(e^{-u})={1 \over 2\pi i}\int_{c-i\infty}^{c+i\infty}\Gamma(r) \zeta(s+r)u^{-r}dr
    c est une constante à droite des pôles de l'intégrande. Le chemin d'intégration peut être convert en un contour fermé, et les pôles de l'intégrande sont ceux de \Gamma(r)\, à r=0,-1,-2,..., et de \zeta(s+r)\, à r=1-s. Sommer les résidus donnent, pour | μ | < 2π et s \ne 1,2,3,\ldots\,
    Li_s(e^\mu) = \Gamma(1-s)(-\mu)^{s-1} + \sum_{k=0}^\infty {\zeta(s-k) \over k!}~\mu^k
    Si le paramètre s est un entier positif, n, ainsi que le k=n-1 terme, la fonction gamma devient infinie, bien que leur somme ne l'est pas. Pour un entier k>0, nous avons :
    \lim_{s\rightarrow k+1}\left[  {\zeta(s-k)\mu^k \over k!}+\Gamma(1-s)(-\mu)^{s-1}\right] = {\mu^k \over k!}\left(\sum_{m=1}^k{1 \over m}-\textrm{Ln}(-\mu)\right)
    et pour k=0:
    \lim_{s\rightarrow 1}\left[ \zeta(s)+\Gamma(1-s)(-\mu)^{s-1}\right] = -\textrm{Ln}(-\mu)
    Ainsi, pour s=nn est un entier positif et |\mu|<2\pi\,, nous avons ce qui suit :
    Li_{n}(e^\mu) = {\mu^{n-1} \over (n-1)!}\left(H_{n-1}-\textrm{Ln}(-\mu)\right) +
    \sum_{k=0,k\ne n-1}^\infty {\zeta(n-k) \over k!}~\mu^k  ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(n=2,3,4,\ldots)
    Li_{1}(e^\mu) =-\textrm{Ln}(-\mu)+ \sum_{k=1}^\infty {\zeta(1-k) \over k!}~\mu^k  ~~~~~~~~~~(n=1)
    H_{n-1}\, est un nombre harmonique :
    H_{n-1}\equiv \sum_{k=1}^{n-1}{1\over k}
    Le problème des termes contient maintenant -ln(-\mu)\, qui, lorsqu'ils sont multipliés par \mu^k\, tendront vers zéro quand \mu\, tend vers zéro, excepté pour k=0. Ceci reflète le fait que qu'il existe une vraie singularité (D'une manière générale, le mot singularité décrit le caractère singulier de quelque chose ou de quelqu'un. En particulier, le terme est employé dans les...) logarithmique en Li_s(z)\, en s=1 et z=1, puisque :
    \lim_{\mu\rightarrow 0}\Gamma(1-s)(-\mu)^{s-1}=0~~~~~(\textrm{Re}(s)>1)
    En utilisant la parenté entre la fonction Zeta de Riemann et les nombres de Bernoulli B_k\, :
    \zeta(-n)=(-1)^n{B_{n+1} \over n+1}~~~~~~~~~~~(n=0,1,2,3,\ldots)
    nous obtenons pour les valeurs entières négatives de s et | μ | < 2π :
    Li_{-n}(z) =  {n! \over (-\mu)^{n+1}}- \sum_{k=0}^{\infty} { B_{k+n+1}\over k!~(k+n+1)}~\mu^k ~~~~~~~~~~~(n=1,2,3,\ldots)
    puisque, excepté pour B_1\,, tous les nombres de Bernoulli sont égaux à zéro. Nous obtenons le terme n=0 en utilisant \zeta(0)=B_1=-\frac{1}{2}\,. Notons encore que l'équation équivalent d'Erdélyi sect. 1.11-15 n'est pas correcte si nous supposons que les branches principales du polylogarithme et le logarithme sont utilisées simultanément, puisque \ln(\frac{1}{z})\, n'est pas uniformément égal à -ln(z)\,.
  • L'équation définie peut être étendue aux valeurs négatives du paramètre s en utilisant une intégrale curviligne d'Hankel (Wood, Gradshteyn & Ryzhik sect. 9.553) :
    Li_s(e^\mu)=-{\Gamma(1-p) \over 2\pi i}\oint_H{(-t)^{s-1} \over e^{t-\mu}-1}dt
    H est le contour d'Hankel qui peut être modifié pour qu'il entoure les pôles de l'integrande, à t − μ = 2kπi, l'intégrale peut être évaluée comme la somme des résidus :
    Li_s(e^\mu)=\Gamma(1-s)\sum_{k=-\infty}^\infty (2k\pi i-\mu)^{s-1}
    Ceci restera valable pour Re(s) < 0 et tous les z excepté pour z=1.
  • Pour les entiers négatifs s, le polylogarithme peut être exprimé comme une série impliquent les nombres d'Euler
    Li_{-n}(z) =   {1 \over (1-z)^{n+1}} \sum_{i=0}^{n-1}\left\langle{n\atop i}\right\rangle z^{n-i} ~~~~~~~~~~~~~(n=1,2,3,\ldots)
    \left\langle{n\atop i}\right\rangle sont les nombres d'Euler :
  • Une autre formule explicite pour les entiers négatifs s est (Wood) :
    Li_{-n}(z) =   \sum_{k=1}^{n+1}{(-1)^{n+k+1}(k-1)!S(n+1,k) \over (1-z)^k} ~~~~~~~~~~(n=1,2,3,\ldots)
    Où S(n,k) sont les nombres de Stirling de deuxième espèce (Dans les sciences du vivant, l’espèce (du latin species, « type » ou « apparence ») est le taxon de base de la...).

Comportement aux limites

Les limites suivantes restent valables pour le polylogarithme (Wood) :

\lim_{|z|\rightarrow 0} Li_s(z) = \lim_{s \rightarrow \infty} Li_s(z) = z
\lim_{\mathrm{Re}(\mu) \rightarrow \infty} Li_s(e^\mu) = -{\mu^s \over \Gamma(s+1)} ~~~~~~(s\ne -1, -2,-3,\ldots)
\lim_{\mathrm{Re}(\mu) \rightarrow \infty} Li_{n}(e^\mu) = -(-1)^ne^{-\mu} ~~~~~~(n=1,2,3,\ldots)
\lim_{|\mu|\rightarrow 0} Li_s(e^\mu) =  \Gamma(1-s)(-\mu)^s~~~~~~(s<1)

Echelles de polylogarithmes

Leonard Lewin a découvert une remarquable généralisation (La généralisation est un procédé qui consiste à abstraire un ensemble de concepts ou d'objets en négligeant les détails de façon à ce qu'ils puissent...) d'un grand nombre de relations classiques sur les polylogarithmes pour des valeurs particulières. Celles-ci sont maintenant appelées les échelles de polylogarithmes. Définissons \rho=\frac{(\sqrt{5}-1)}{2}\, comme l'inverse du nombre d'or. Alors, deux exemple simples des résultats issus des échelles incluent

Li_2(\rho^6)=4Li_2(\rho^3)+3Li_2(\rho^2)-6Li_2(\rho)+\frac{7\pi^2}{30}

donné par Coxeter en 1935, et

Li_2(\rho)=\frac{\pi^2}{10} - \log^2\rho

donné par Landen. Les échelles de polylogarithmes apparaissent naturellement et profondément en K-théorie.

Histoire

Don Zagier a remarqué que "Le dilogarithme est la seule fonction mathématique avec un sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but l'extension radicale de l'espérance de vie humaine. Par une évolution progressive allant du ralentissement du...) de l'humour."

Publications en langue anglaise

  • Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (ed.), Handbook of Mathematical Functions, National Bureau of Standards, 1964; reprinted Dover Publications, 1965.
  • Boersma, J. and Dempsey, J. P. "On the evaluation of Legendre's chi-function", Mathematics of Computation, 59, 199, pp. 157-163, 1992.
  • Berndt, B. C. Ramanujan's Notebooks, Part IV. New York (New York , en anglais New York City (officiellement, City of New York) pour la distinguer de l’État de New York, est la principale ville des États-Unis, elle compte a elle...): Springer-Verlag, pp. 323-326, 1994.
  • Clunie, J., "On Bose-Einstein functions", Proceedings of the Physical Society, Section A, 67, pp. 632-636, 1954.
  • Erdélyi, A.; Magnus, W.; Oberhettinger, F.; and Tricomi, F. G. Higher Transcendental Functions, Vol. 1. New York: Krieger, 1981.
  • Fornberg, B. and Kölbig, K. S., "Complex zeros of the Jonquiére or polylogarithm function", Mathematics of Computation, 29, 130, pp. 582-599, 1975.
  • Gradshteyn, I.S. and Ryzhik, I.M., Tables of Integrals, Series, and Products, Academic Press, New York 1980.
  • GNU (GNU est un système d'exploitation composé exclusivement de logiciels libres.) Scientific Library - Reference Manual cf GNU Scientific Library
  • Jahnke, E. and Emde, F., Tables of Functions with Formulae and Curves, Dover, 1945.
  • Kölbig, K. S., Mignaco, J. A., and Remiddi, E., "On Nielsen's generalized polylogarithms and their numerical calculation", BIT, 10, pp. 38-74, 1970.
  • Kölbig, K. S. "Nielsen's Generalized Polylogarithms", SIAM J. Math. Anal. 17, pp. 1232-1258, 1986.
  • Lewin, L. Dilogarithms and Associated Functions. London: Macdonald, 1958.
  • Lewin, L. Polylogarithms and Associated Functions. New York: North-Holland, 1981.
  • Lewin, Leonard. (Ed.). Structural Properties of Polylogarithms. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1991. ISBN 0-8218-4532-2
  • McDougall, J. and Stoner, E. C. "The computation of Fermi-Dirac functions", Philosophical Transactions of the Royal Society, Series A, 237, pp. 67-104, 1939.
  • Markman, B., "The Riemann Zeta Function", BIT,5, pp. 138-141, 1965.
  • Nielsen, N. "Der Eulersche Dilogarithmus und seine Verallgemeinerungen". Nova (En astronomie, une nova est une étoile qui devient très brutalement extrêmement brillante, avec une grande augmentation de son éclat, qui peut être de l'ordre de 10 magnitudes. Cette vive...) Acta Leopoldina Halle, Germany, 90, pp. 123-211, 1909.
  • Prudnikov, A. P.; Marichev, O. I.; and Brychkov, Yu. A. "The Generalized Zeta Function, Bernoulli Polynomials, Euler Polynomials, and Polylogarithms ." §1.2 in Integrals and Series, Vol. 3: More Special Functions. Newark, NJ: Gordon and Breach, pp. 23-24, 1990.
  • Schrödinger, E., Statistical Thermodynamics, Cambridge, 1952.
  • Truesdell, C. "On a function which occurs in the theory of the structure of polymers", Annals of Mathematics, Series 2, 46, No 1, pp. 144-1457, 1945.
  • Whittaker, E. T., and Watson, G. N., A Course (Course : Ce mot a plusieurs sens, ayant tous un rapport avec le mouvement.) of Modern Analysis, Cambridge, 1927.
  • Wood, David C., Technical (Un technical est un anglicisme désignant un véhicule de combat improvisé et typique d'une force militaire irrégulière locale.) Report 15-92, University of Kent computing Laboratory, University of Kent, Canterbury, UK June, 1992.
  • Zagier, D. "Special Values and Functional Equations of Polylogarithms." Appendix A in Structural Properties of Polylogarithms (Ed. L. Lewin). Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1991.
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