Base orthonormale
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Base orthonormale

Soit En un espace vectoriel euclidien de dimension n, où n est un entier naturel non nul, et \mathcal B = ( \vec e_1 , \vec e_2 , ... , \vec e_n), une base de En.

  • Si n = 1, alors \mathcal B = ( \vec e_1) est dite orthonormale si et seulement si
\| \vec e_1 \| = 1
  • Si n > 1, alors \mathcal B est orthonormale si et seulement si
\| \vec e_1 \| = \| \vec e_2 \| = ... = \| \vec e_n \| = 1
et,
pour tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) i \not = j, \vec e_i \perp \vec e_j ( c'est-à-dire \vec e_i \cdot \vec e_j = 0 )

Le terme " base orthonormée " est parfois abrégé par le sigle BON.

Repère orthonormal

Soient An un espace affine (Historiquement, la notion d’espace affine est issue du choc dû à la découverte de nouvelles géométries parfaitement cohérentes, mais différant de...) euclidien associé à l'espace vectoriel (En algèbre linéaire, un espace vectoriel est une structure algébrique permettant en pratique d'effectuer des combinaisons linéaires. Pour une introduction au concept de vecteur, voir l'article Vecteur.) euclidien En et O un point (Graphie) quelconque de An, alors le repère

\mathcal R = (\ O , \vec e_1 , \vec e_2 , ... , \vec e_n)

est dit orthonormal si et seulement si sa base associée \mathcal B = ( \vec e_1 , \vec e_2 , ... , \vec e_n) est elle-même orthonormale.

Le terme " repère orthonormé " est parfois abrégé par le sigle RON.

En géométrie (La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures de l'espace de dimension 3 (géométrie euclidienne) et, depuis le XVIIIe siècle, les figures...) dans l'espace

En géométrie dans l'espace, la base est en général notée (\vec{i},\vec{j},\vec{k}) au lieu de (\vec{e_1},\vec{e_2},\vec{e_3}).

La base est dite " directe " si \vec{k} est le produit vectoriel (Le produit vectoriel est une opération vectorielle effectuée dans les espaces euclidiens orientés de dimension trois[1]. Le formalisme utilisé actuellement est apparu en 1881 dans un manuel d'analyse...) de \vec{i} et de \vec{j} (\vec{k} = \vec{i} \wedge \vec{j}).

Le terme " base orthonormée directe " est parfois abrégé par le sigle BOD.

Si la base associèe à un repère est orthonormée directe, le repère est un repère orthonormé direct, terme parfois abrégé par le sigle ROND ( Le mot rond caractérise et par abus de langage désigne un cercle ou une sphère. En argot, un rond c'est un sou. Une affaire rondement menée est une...).

Voir l'article Orientation (mathématiques).

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