Formule du binôme négatif
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La formule du binôme négatif permet de développer une puissance entière strictement négative d'une somme de deux termes, et apparaît comme un cas particulier de la formule du binôme généralisé.

Énoncé

Nous avons :

\forall x, |x|<1, \forall r\in \mathbb N, (1-x)^{-(r+1)}=\frac{1}{(1-x)^{r+1}}=\sum_{k=r}^{+\infty} {k \choose r} x^{k-r}

{k \choose r} est un coefficient binomial (Les coefficients binomiaux interviennent dans de nombreux domaines des mathématiques : développement du binôme, dénombrement, développement en série…).

Démonstration (En mathématiques, une démonstration permet d'établir une proposition à partir de propositions initiales, ou précédemment...)

La formule se montre par récurrence sur r en utilisant les règles de dérivation des séries entières.

Pour r = 0, on reconnaît \frac{1}{1-x} = \sum_{k=0}^{+\infty} x^k (somme d'une série géométrique de raison x)

Supposons la formule vraie au rang ( Mathématiques En algèbre linéaire, le rang d'une famille de vecteurs est la dimension du sous-espace vectoriel engendré par cette famille. Le théorème du rang lie le rang et la dimension du noyau d'une application...) r :

\frac{1}{(1-x)^{r+1}}=\sum_{k=r}^{+\infty} {k \choose r} x^{k-r}

et dérivons-la. On obtient :

\frac{r+1}{(1-x)^{r+2}}=\sum_{k=r+1}^{+\infty} (k-r) {k \choose r} x^{k-r-1}

ce qui donne le résultat voulu au rang suivant compte tenu du fait que

{k-r \over r+1} {k \choose r} = {k \choose r+1}

Voyez également

  • Le théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement logique construit à partir d'axiomes. Un théorème est à distinguer...) du binôme généralisé (La formule du binôme généralisé permet de développer une puissance réelle ou complexe d'une somme de deux termes sous forme d'une somme de série et généralise la formule du binôme de Newton.)
  • La formule du binôme ( en mathématique, binôme, une expression algébrique ; voir aussi binôme de Newton et coefficient binomial un binôme est un groupe de deux personnes, voir Équipe en binôme en sciences naturelles, le mot...) de Newton
  • Les coefficients binomiaux
  • Les séries
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