Théorème de Lindemann-Weierstrass
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En mathématiques, le théorème de Lindemann-Weierstrass établit que si \alpha_1, \cdots, \alpha_n\, sont des nombres algébriques qui sont linéairement indépendants sur les nombres rationnels, alors e^{\alpha_1} \cdots e^{\alpha_n}\, sont algébriquement indépendants sur les nombres algébriques ; en d'autres mots, l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être comprise comme un...) {e^{\alpha_1} \cdots e^{\alpha_n}}\, possède le degré (Le mot degré a plusieurs significations, il est notamment employé dans les domaines suivants :) de transcendance n sur \Bbb{Q}. Une formulation (La formulation est une activité industrielle consistant à fabriquer des produits homogènes, stables et possédant des propriétés spécifiques, en mélangeant différentes matières premières...) équivalente du théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement...) est la suivante : si \alpha_1, \cdots, \alpha_n\, sont des nombres algébriques distincts alors e^{\alpha_1} \cdots e^{\alpha_n} sont linéairement indépendants sur les nombres algébriques.

Le théorème fut nommé ainsi en l'honneur de Ferdinand von Lindemann, qui prouva le cas particulier de la transcendance de \pi\,, et Karl Weierstrass.

Transcendance de e et π

La transcendance de e et celle de \pi\, sont des corollaires immédiats de ce théorème. Supposons que \alpha\, soit un nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) algébrique différent de zéro ; alors {\alpha\,} est un ensemble linéairement indépendant sur les nombres rationnels, et par conséquent {e^{\alpha}\,} possède un degré de transcendance un sur les nombres rationnels ; en d'autres termes e^{\alpha}\, est transcendant. En utilisant l'autre formulation, nous pouvons argumenter que si {0, \alpha\,} est un ensemble de nombres algébriques distincts, alors l'ensemble {e^0, e^{\alpha}\,} = {1, e^{\alpha}\,} est linéairement indépendant sur les nombres algébriques, et ainsi e^{\alpha}\, est immédiatement vu comme étant transcendant. En particulier, e^1 = e\, est transcendant. Donc, si \beta = e^{i \alpha}\, est transcendant, alors sa partie réelle et sa partie imaginaire :

\cos(\alpha) = Re(\beta) = \frac{\beta + \beta^{-1}}{2}\, et
\sin(\alpha) = Im(\beta) = \frac{\beta - \beta^{-1}}{2i} le sont aussi.
Par conséquent, si \pi\, était algébrique, \cos(\pi) = - 1\, et \sin(\pi) = 0\, seraient transcendants, ce qui prouve par l'absurde que \pi\, n'est pas algébrique, autrement dit qu'il est transcendant.

Conjecture (En mathématiques, une conjecture est une assertion qui a été proposée comme vraie, mais que personne n'a encore pu démontrer ou réfuter.) p-adique

La conjecture p-adique de Lindemann-Weierstrass est la suivante : cette conjecture est aussi vraie pour sa version p-adique : si \alpha_1, \cdots, \alpha_n\, sont un ensemble de nombres algébriques linéairement indépendants sur les nombres rationnels tels que | αi | p < 1 / p pour un certain nombre premier (Un nombre premier est un entier naturel qui admet exactement deux diviseurs distincts entiers et positifs (qui sont alors 1 et lui-même). Cette définition exclut 1, qui n'a qu'un seul diviseur...) p, alors les exponentielles p-adiques e^{\alpha_1} \cdots e^{\alpha_n} sont transcendantes algébriquement indépendantes.

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