En mathématiques, le théorème de Lindemann-Weierstrass établit que si
sont des nombres algébriques qui sont linéairement indépendants sur les nombres rationnels, alors
sont algébriquement indépendants sur les nombres algébriques ; en d'autres mots, l'ensemble possède le degré de transcendance n sur
. Une formulation équivalente du théorème est la suivante : si
sont des nombres algébriques distincts alors
sont linéairement indépendants sur les nombres algébriques.
Le théorème fut nommé ainsi en l'honneur de Ferdinand von Lindemann, qui prouva le cas particulier de la transcendance de
, et Karl Weierstrass.
Transcendance de e et π
La transcendance de e et celle de
sont des corollaires immédiats de ce théorème. Supposons que
soit un nombre algébrique différent de zéro ; alors {
} est un ensemble linéairement indépendant sur les nombres rationnels, et par conséquent {
} possède un degré de transcendance un sur les nombres rationnels ; en d'autres termes
est transcendant. En utilisant l'autre formulation, nous pouvons argumenter que si {
} est un ensemble de nombres algébriques distincts, alors l'ensemble {
} = {
} est linéairement indépendant sur les nombres algébriques, et ainsi
est immédiatement vu comme étant transcendant. En particulier,
est transcendant. Donc, si
est transcendant, alors sa partie réelle et sa partie imaginaire :
et
le sont aussi.
Par conséquent, si
était algébrique,
et
seraient transcendants, ce qui prouve par l'absurde que
n'est pas algébrique, autrement dit qu'il est transcendant.
La conjecture p-adique de Lindemann-Weierstrass est la suivante : cette conjecture est aussi vraie pour sa version p-adique : si
sont un ensemble de nombres algébriques linéairement indépendants sur les nombres rationnels tels que | αi | p < 1 / p pour un certain nombre premierp, alors les exponentielles p-adiques
sont transcendantes algébriquement indépendantes.
