Fonction carré
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Probabilité (La probabilité (du latin probabilitas) est une évaluation du caractère probable d'un évènement. En mathématiques, l'étude des probabilités est un...)
Statistique (Une statistique est, au premier abord, un nombre calculé à propos d'un échantillon. D'une façon générale, c'est le résultat de l'application d'une...)

La fonction carré (La fonction carré est la fonction qui à un nombre réel x associe son carré, noté x², soit x multiplié par lui même. Elle introduit les fonctions puissance, c'est une des plus simples d'entre elles.) est la fonction qui à un nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) réel x associe son carré (Un carré est un polygone régulier à quatre côtés. Cela signifie que ses quatre côtés ont la même longueur et ses quatre angles la même mesure. Un carré est à la fois un rectangle...), noté , soit x multiplié par lui même. Elle introduit les fonctions puissance (Le mot puissance est employé dans plusieurs domaines avec une signification particulière :), c'est une des plus simples d'entre elles.

Propriétés

Signe
La première propriété est la positivité de la fonction. En effet quel que soit x réel, y=x\times x on a forcément deux fois le même signe à droite; donc y est supérieur ou égal 0. Et s'annule uniquement en 0.
Parité
Vient ensuite la parité de la fonction c'est-à-dire que f(x) = f( − x). En effet avec la remarque précédente (-x)\times(-x)=x\times x.

Résolution d'équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement pour poser le problème de leur identité. Résoudre l'équation consiste à...) de type x² = a

Quand x2 = a, il y a trois cas possibles :

  • a < 0 : Aucune solution dans l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être comprise comme un tout », comme...) des réels R
  • a = 0 : Une solution, x = 0
  • a > 0 : Deux solutions, x = \sqrt{a} ou x = -\sqrt{a}

Par exemple, si x2 = 9 alors x = 3 ou x = − 3, car 32 = ( − 3)2 = 9.

Dérivée (La dérivée d'une fonction est le moyen de déterminer combien cette fonction varie quand la quantité dont elle dépend, son argument, change. Plus précisément, une dérivée est une expression...)

La dérivée de la fonction carré est 2x, c'est une fonction affine (En mathématiques élémentaires, une fonction affine est une fonction de la variable réelle dont la représentation graphique est une droite. C'est une fonction polynôme de degré inférieur ou égal à un. . Elle est définie par) impaire.

Représentation graphique

Représentation graphique de la fonction x²
Représentation graphique de la fonction x²

Dans un repère orthonormal, la fonction est représentée par une parabole (La parabole est l'intersection d'un plan avec un cône lorsque le plan est parallèle à l'une des génératrices du cône. Elle est un type de courbe dont les nombreuses propriétés géométriques ont intéressé les mathématiciens...) dont le sommet est le point (Graphie) (0,0). On remarque bien que l'intégralité de la parabole se situe au-dessus de la courbe (En géométrie, le mot courbe, ou ligne courbe désigne certains sous-ensembles du plan, de l'espace usuels. Par exemple, les droites, les segments, les lignes polygonales et les cercles sont des...) et la parité est décelable grâce à l'axe de symétrie qu'est l'axe des ordonnées.

La fonction carré étant une fonction paire (On dit qu'un ensemble E est une paire lorsqu'il est formé de deux éléments distincts a et b, et il s'écrit alors :), sa représentation graphique admet un axe de symétrie qui est l'axe des ordonnées.

La fonction carré a pour limite plus l'infini (Le mot « infini » (-e, -s ; du latin finitus, « limité »), est un adjectif servant à qualifier quelque chose qui n'a pas de limite en nombre ou en taille.) en plus l'infini et en moins l'infini.

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