Fonction affine
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Statistique (Une statistique est, au premier abord, un nombre calculé à propos d'un échantillon. D'une façon générale, c'est le résultat de...)

En mathématiques élémentaires (Les mathématiques élémentaires regroupent les mathématiques abordées et abordables dans l'enseignement primaire et secondaire. Une page méta est dédiée à ce projet : Projet/Mathématiques élémentaires.), une fonction affine (En mathématiques élémentaires, une fonction affine est une fonction de la variable réelle dont la représentation graphique est une droite. C'est une fonction polynôme...) est une fonction de la variable (En mathématiques et en logique, une variable est représentée par un symbole. Elle est utilisée pour marquer un rôle dans une formule,...) réelle dont la représentation graphique est une droite. C'est une fonction polynôme (En algèbre, une fonction polynôme, ou fonction polynomiale est définie comme étant une application associée à un polynôme à coefficients dans un anneau (souvent un corps) commutatif K de...) de degré (Le mot degré a plusieurs significations, il est notamment employé dans les domaines suivants :) inférieur ou égal à un. . Elle est définie par

f: \mathbb{R}\to\mathbb{R}

x \mapsto f(x)= m\times x + p avec m, p \in \mathbb{R}

Dans l'expression ci-dessus, m et p sont des constantes et x est la variable.

La constante m est appelée coefficient directeur et p ordonnée à l'origine.

Si m est nul, alors la fonction est constante.

Si p est nul alors la fonction est linéaire et sa droite représentative passe par l'origine.

Propriété caractéristique

Une fonction affine (En mathématiques, affine peut correspondre à :) est caractérisée par le fait que son taux d'accroissement est constant. En effet, si x1 et x2 sont deux réels, l'accroissement f(x1) − f(x2) est proportionnel à x1x2:

f(x_1) - f(x_2) = m(x_1 - x_2) \,

Cette propriété donne alors un outil (Un outil est un objet finalisé utilisé par un être vivant dans le but d'augmenter son efficacité naturelle dans l'action. Cette augmentation se traduit par la simplification des actions entreprises, par une plus grande...) pour déterminer le coefficient m:

m = \frac{f(x_1) - f(x_2)} {x_1 - x_2} si x1x2 est non nul.

Exemples

On rencontre quelques exemples de fonctions affines dans

  • les abonnements téléphoniques: le prix de l'abonnement mensuel est A et le prix d'une communication (La communication concerne aussi bien l'homme (communication intra-psychique, interpersonnelle, groupale...) que l'animal (communication intra- ou inter-...) à la minute ( Forme première d'un document : Droit : une minute est l'original d'un acte. Cartographie géologique ; la minute de terrain est la carte originale, au crayon, levée sur le...) est de 0,10 euros/minute. La facture téléphonique est alors une fonction affine du nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) x de minutes de communication dans le mois (Le mois (Du lat. mensis «mois», et anciennement au plur. «menstrues») est une période de temps arbitraire.).
f(x) = A + 0,1\times x
  • La longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus éloignées. Lorsque l’objet est filiforme ou en forme de lacet, sa longueur est celle de l’objet...) d'un ressort : Si au repos le ressort à une longueur L0, et si sa raideur est k, la longueur du ressort est une fonction affine de la force (Le mot force peut désigner un pouvoir mécanique sur les choses, et aussi, métaphoriquement, un pouvoir de la volonté ou encore une vertu morale « cardinale » équivalent au courage (cf. les articles « force (vertu) » et...) appliquée (loi de Hooke).
L(f) = L_0 + \frac{f}{k}
Dans ce cas, le coefficient directeur est \frac{1}{k} et l'ordonnée à l'origine L0.

Représentation graphique

La représentation graphique d'une fonction affine est une droite dont l'équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement pour poser le problème de leur identité. Résoudre l'équation consiste à déterminer toutes les façons de donner à certaines...) est

y = ax + b \,

La droite coupe l'axe des ordonnées pour y = b (d'où le nom : ordonnée à l'origine). Lorsque b est égal à 0, la droite passe par l'origine du repère cartésien.

La droite a pour pente ou coefficient directeur le réel a. Si a>0, la fonction affine est croissante (la droite "monte"), si a<0, elle est décroissante (la droite "descend"). Par un processus analogue à celui vu pour la fonction linéaire, un déplacement de 1 carreau en abscisse induit un déplacement de a carreaux en ordonnée.

Détermination de a et b

Soient deux points L(x1,y1) et M(x2,y2) appartenant à la droite d'équation y = ax + b, on a :

a =  \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}
b = y_1 - ax_1  = y_2 - ax_2 \,

Médias (On nomme média un moyen impersonnel de diffusion d'informations (comme la presse, la radio, la télévision), utilisé pour communiquer. Les médias permettent de diffuser une information vers un grand nombre d'individus sans possibilité de...)

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