Action de groupe (mathématiques) - Définition

Introduction

Une action de groupe est, en mathématiques, une description algébrique d'une famille de transformations géométriques d'un espace, par exemple le groupe des rotations agit sur , le groupe de matrices agit sur l'espace .

Définition

Étant donné un groupe G, dont la loi est notée multiplicativement et dont l'élément neutre est noté e, on peut définir une action (ou opération) de G sur un ensemble E par une application :

vérifiant les propriétés suivantes :

Dans ce cas on dit également que G opère (ou agit) sur l'ensemble E. Il est important de bien vérifier que l'ensemble E est stable sous l'action du groupe G.

Un point de vue équivalent consiste à dire que le groupe G opère sur l'ensemble E si l'on dispose d'un morphisme de groupes, dit associé à l'action, , du groupe dans le groupe symétrique de l'ensemble. Un tel morphisme est appelé une représentation du groupe G.

Ce morphisme est lié à l'action par

pour tous .

Orbites, stabilisateurs et points fixes

Orbite d'un élément

On définit l'orbite d'un élément x de E par

L'orbite de x est l'ensemble des positions (dans E) susceptibles d'être occupées par l'image de x sous l'action de G. La relation « y est dans l'orbite de x » est une relation d'équivalence sur E, les classes d'équivalences sont les orbites.

En particulier, les orbites forment une partition de E.

Stabilisateur d'un élément

Le stabilisateur d'un élément x de E est l'ensemble

des éléments qui laissent x invariant sous leur action. C'est un sous-groupe de G. Les stabilisateurs de deux éléments de la même orbite sont isomorphes via la formule :

L'application

est une bijection de G / St_x sur O_x.

Points fixes d'un élément du groupe

On peut définir, de manière analogue, l'ensemble Fix_g des points fixés par un élément comme l'ensemble des éléments de E invariants sous l'action de g.

Exemples

• Un groupe opère sur lui-même de deux manières fondamentales :

• par translation à gauche, cette action est libre et transitive:

• par automorphisme intérieur, action aussi appelée par conjugaison :

• Le groupe symétrique d'un ensemble E opère naturellement sur E, cette action est fidèle et transitive :

• Le groupe orthogonal (resp. unitaire) d'un espace euclidien (resp. espace hermitien) E opère sur sa sphère unité :

• Le groupe linéaire d'un espace vectoriel de dimension finie E opère sur l'ensemble de ses bases , cette action est libre et transitive :

• Le groupe projectif (ou groupe des homographies) d'un espace projectif opère sur l'ensemble de ses faisceaux harmoniques :

• Si pour tout entier relatif n on définit

alors le groupe opère sur  :

. Cette action est fidèle, mais pas transitive.

• Le groupe des permutations opère sur l'ensemble des formes p-linéaires par :

Formule des classes, formule de Burnside

À travers les notions d'orbite et de stabilisateur, les actions de groupe sont un outil commode en combinatoire. D'autre part, un certain nombre de propriétés concernant la structure de certains groupes peuvent être démontrées par des arguments de dénombrement.

Deux identités reviennent fréquemment. Lorsque l'ensemble E et le groupe G sont finis, la formule des classes affirme que pour toute orbite O_x

Remarquons que les stabilisateurs de 2 éléments d'une même orbite sont conjugués et ont donc le même cardinal (on peut donc remplacer dans la formule ci-dessus x par n'importe quel élément de l'orbite.

Par suite si on désigne par Ω l'ensemble des orbites et par c_ω le cardinal commun des stabilisateurs des éléments de l'orbite ω on peut écrire:

Cette formule relie le cardinal de l'ensemble à la structure du groupe G.

La formule de Burnside affirme pour sa part (toujours sous l'hypothèse que E et G sont finis) que le nombre d'orbites est

.

En particulier, si G est un groupe fini agissant transitivement sur un ensemble non vide E, alors la moyenne du nombre de points fixes des éléments du groupe G est égale à 1.