Espace euclidien - Définition et Explications

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Introduction

En mathématiques, un espace euclidien est un objet algébrique permettant de généraliser de façon naturelle la géométrie traditionnelle développée par Euclide, dans ses Éléments. Une géométrie de cette nature modélise, en physique (La physique (du grec φυσις, la nature) est étymologiquement la « science de la nature ». Dans un sens...) classique, le plan ainsi que l'espace qui nous entoure. Un espace euclidien (En mathématiques, un espace euclidien est un objet algébrique permettant de généraliser de façon naturelle la géométrie...) permet également de traiter les dimensions supérieures ; il est défini par la donnée (Dans les technologies de l'information, une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose, d'une transaction, d'un événement, etc.) d'un espace vectoriel (En algèbre linéaire, un espace vectoriel est un ensemble muni d'une structure permettant d'effectuer des combinaisons linéaires.) sur les nombres réels, de dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur, ou...) finie, muni d'un produit scalaire (En géométrie vectorielle, le produit scalaire est une opération algébrique s'ajoutant aux lois s'appliquant aux vecteurs. À deux...), qui permet de mesurer distances et angles.

L'existence d'un produit scalaire (Un vrai scalaire est un nombre qui est indépendant du choix de la base choisie pour exprimer les vecteurs, par opposition à un pseudoscalaire, qui est un nombre qui peut dépendre de la base.) permet d'obtenir par exemple des bases particulières dites orthonormales, une relation canonique entre l'espace et son dual, ou des familles d'endomorphismes admettant une théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer, examiner ». Dans le langage courant, une théorie est une idée ou une...) simple de réduction. Il permet aussi d'obtenir une structure topologique, ce qui met à disposition les méthodes d'analyse.

Les espaces euclidiens possèdent une longue histoire ainsi que de nombreuses applications. Les relations entre cet outil (Un outil est un objet finalisé utilisé par un être vivant dans le but d'augmenter son efficacité naturelle dans l'action. Cette augmentation se traduit par la simplification des actions...) et le reste des mathématiques (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que les nombres, les...) sont multiples et variées, depuis la logique (La logique (du grec logikê, dérivé de logos (λόγος), terme inventé par Xénocrate signifiant à la fois raison, langage, et raisonnement) est dans une première approche...) et l'algèbre (L'algèbre, mot d'origine arabe al-jabr (الجبر), est la branche des mathématiques qui étudie, d'une façon générale, les structures algébriques.) jusqu'aux géométries non euclidiennes. Cet aspect est traité dans l'article géométrie euclidienne (La géométrie euclidienne commence avec les Éléments d'Euclide, qui est à la fois une somme des connaissances géométriques de...).

Espace euclidien et bipoints

Dans le cadre de la construction des vecteurs à l'aide des classes d'équivalence de bipoints sur un espace affine (Historiquement, la notion d’espace affine est issue du choc dû à la découverte de nouvelles géométries parfaitement cohérentes, mais différant de...), une première définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.) du produit scalaire peut être obtenue. La norme (Une norme, du latin norma (« équerre, règle ») désigne un état habituellement répandu ou moyen considéré le plus souvent comme une règle à suivre. Ce...) d'un vecteur (En mathématiques, un vecteur est un élément d'un espace vectoriel, ce qui permet d'effectuer des opérations d'addition et de multiplication par un...) correspond à la longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus éloignées. Lorsque l’objet est filiforme ou en...) d'un bipoint représentatif, l'angle (En géométrie, la notion générale d'angle se décline en plusieurs concepts apparentés.) de deux vecteurs correspond à celui de deux bipoints représentatifs de même origine. La formule donnant le produit scalaire est alors :

\langle\vec u|\vec v\rangle = \|\vec u\| \cdot \|\vec v\| \cdot \cos(\widehat{\vec u, \vec v})

Dans de nombreux cas en physique classique ou en géométrie analytique (La géométrie analytique est une approche de la géométrie dans laquelle on représente les objets par des équations ou inéquations. Le plan ou l'espace est nécessairement muni...), si la dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son...) de l'espace n'est pas trop élevée (typiquement deux ou trois), cette définition est suffisante. Toutefois, dans le cas général, ce formalisme s'avère à la fois lourd et peu adapté pour, par exemple, l'étude des propriétés topologiques d'un espace euclidien. Une deuxième approche, purement algébrique et plus abstraite, existe, et permet d'établir plus facilement des résultats plus généraux.

Propriétés algébriques

Base orthonormale (Soit En un espace vectoriel euclidien de dimension n, où n est un entier naturel non nul, et , une base de En.)

Dans l'étude des espaces euclidiens, certaines bases de l'espace vectoriel sous-jacent sont d'un intérêt particulier. Ce sont celles qui vérifient les propriétés suivantes, en liaison avec la structure supplémentaire amenée par le produit scalaire : chaque vecteur de la base possède une norme égale à un et deux vecteurs distincts de la base sont orthogonaux, c'est-à-dire que leur produit scalaire est égal à zéro. Une telle base est qualifiée d'orthonormale.

Orthogonalité (En mathématiques, l'orthogonalité est un concept d'algèbre linéaire associé à une forme bilinéaire. Un cas fréquent est celui où cette forme est un produit scalaire.) et vecteurs libres 1 —  Toute famille de vecteurs non nuls et orthogonaux deux à deux est une famille libre.

L'existence de bases orthonormales est assurée par la proposition suivante, utile dans de nombreuses situations :

Orthogonalité et vecteurs libres 2 —  Soit x et y deux vecteurs libres, alors le vecteur z égal à y - <x , y>/<x , x> x est non nul et orthogonal à x.

En effet, si x et y forment une famille libre alors x est non nul, et la combinaison (Une combinaison peut être :) linéaire définissant z ne l'est pas non plus. Le calcul suivant montre que la famille (x, z) est orthogonale.

\langle z \, , \, x\rangle =  \left\langle y - \frac {\langle x \, , \, y\rangle}{\langle x \, , \, x \rangle}x \, , \, x\right\rangle = \langle y \, , \, x \rangle - \frac {\langle x \, , \, y \rangle}{\langle x \, , \, x\rangle}\langle x \, , \, x\rangle =0

Le procédé de Gram-Schmidt (En algèbre linéaire, le procédé de Gram-Schmidt est une méthode pour orthonormaliser une famille libre de vecteurs d'un espace vectoriel muni d'un produit scalaire.), qui généralise ce calcul dans le cas de familles libres comptant plus de deux vecteurs, montre l'existence de bases orthonormales, et une méthode pour en calculer explicitement, à partir de la donnée d'une base préalable :

Existence d'une base orthonormale —  Tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) espace euclidien possède une base orthonormale.

Dans une base orthonormale la norme et le produit scalaire s'expriment facilement en fonction des coordonnées. Soit (e1, ..., en) une base orthonormale notée B, x et y deux vecteurs quelconques de E de coordonnées (x1, ..., xn) et (y1, ..., yn) dans la base B. Les expressions suivantes fournissent la norme et le produit scalaire :

\| x\| = \sqrt {\sum_{i=1}^n x_i^2} \quad \text{et} \quad \langle x \, , \, y \rangle = \sum_{i=1}^n x_i.y_i

En particulier, tout espace vectoriel euclidien de dimension n est isomorphe à Rn, c'est-à-dire qu'il existe une application linéaire (En mathématiques, une application linéaire (aussi appelée opérateur linéaire ou transformation linéaire) est une application entre deux espaces vectoriels qui...) bijective de E dans Rn, respectant les deux produits scalaires.

Orthogonalité et convexité

Tout sous-espace vectoriel F de E est lui-même un espace euclidien, donc possède des bases orthonormales. Soit (fi) l'une d'entre elles. La preuve de l'inégalité de Bessel consiste alors en la construction, pour tout vecteur x, du projeté orthogonal de x sur F, c'est-à-dire du vecteur p(x) de F tel que x-p(x) soit orthogonal à F. On prouve, en l'explicitant, l'existence d'un tel vecteur. Son unicité est garantie par le fait que F et son orthogonal n'ont en commun que le vecteur nul. Par le théorème de Pythagore (Le théorème de Pythagore est un théorème de géométrie euclidienne qui énonce que dans un triangle rectangle (qui possède un angle droit) le carré de la longueur de...), sa norme est inférieure ou égale à celle de x :

Projeté orthogonal et inégalité de Bessel — Pour tout vecteur x de E, soit

p(x)=\sum \langle x,f_i\rangle \cdot f_i.

Alors p(x) est le projeté orthogonal de x sur F. Ses coordonnées <x , fi> sont appelées coefficients de Fourier, et la somme de leurs carrés est inférieure ou égale au carré (Un carré est un polygone régulier à quatre côtés. Cela signifie que ses quatre côtés ont la même longueur et ses quatre angles la même mesure. Un...) de la norme de x.

Lorsque (fi) est une base orthonormée de E (autrement dit lorsque F=E, donc p(x)=x), les coordonnées de x dans cette base sont donc ses coefficients de Fourier.

Dans le cadre particulier d'un espace euclidien, cette construction du projeté orthogonal fournit ainsi une preuve directe d'un théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement logique construit à partir d'axiomes. Un théorème est à...) plus général, le Théorème du supplémentaire orthogonal d'un fermé dans un espace de Hilbert :

Théorème du supplémentaire orthogonal — F et son orthogonal sont supplémentaires.

La projection (La projection cartographique est un ensemble de techniques permettant de représenter la surface de la Terre dans son ensemble ou en partie sur la surface plane d'une carte.) orthogonale p ci-dessus est une application linéaire et idempotente d'image F et de noyau F^\perp, aussi appelée projecteur orthogonal sur F. D'après le théorème de Pythagore (Pythagore (en grec ancien Πυθαγόρας / Pythagóras) est un philosophe, mathématicien et scientifique qui serait né aux environs de 580 av....), p(x) est l'élément de F le plus proche de x.

On peut aussi construire p(x) via cette propriété de minimisation de la distance (puis en déduire sa première caractérisation), comme cas particulier du théorème suivant. (Ce théorème s'applique à F, qui est convexe (En géométrie, un objet est convexe si pour toute paire de points { A , B } de cet objet, le segment [AB] qui les joint est entièrement contenu dans l'objet. Par exemple, un cube plein, un disque ou une boule sont convexes, mais un...), et de dimension finie donc fermé.)

Théorème de projection sur un convexe fermé — Soient C un convexe fermé de E et x un vecteur de E. Il existe un unique vecteur t(x) de C, dit projeté de x sur le convexe, tel que la distance de x à C soit égale à celle de x à t(x).

La démonstration (En mathématiques, une démonstration permet d'établir une proposition à partir de propositions initiales, ou précédemment démontrées à partir de propositions initiales, en...) de ce théorème et les propriétés de l'application t sont détaillées dans l'article Théorème de projection sur un convexe fermé.

Espace dual (L'espace dual d'un espace vectoriel E est l'ensemble des formes linéaires sur E. La structure d'un espace et celle de son dual sont très liées. La fin de cet article présente quelques résultats sur les liens...) et forme bilinéaire (En mathématiques, plus précisément en algèbre linéaire, une forme bilinéaire est un type particulier d'application qui,...)

Le dual E* de E désigne l'espace des formes linéaires sur E. Le produit scalaire fournit une application canonique φ de E dans E*, qui à tout vecteur x de E associe la forme linéaire (En algèbre linéaire, les formes linéaires désignent un type particulier d'applications linéaires. L'étude spécifique qu'on leur accorde est motivée par le fait qu'elles jouent un rôle primordial en...) x* définie par :

\forall y \in E \quad x^*(y) \, = \, \langle x \, , \, y \rangle

L'application φ est linéaire. Si x est un élément du noyau de l'application φ, alors, en particulier, x*(x) est égal à zéro donc la norme de x est nulle ; ainsi, φ est injective. De l'égalité des dimensions de E et de E* il résulte que l'application φ est aussi surjective. Ceci montre la propriété suivante :

Proposition 1 —  Il existe un isomorphisme canonique entre un espace euclidien et son dual.

L'isomorphisme φ est très largement utilisé, en mathématiques comme en physique. Par exemple un champ (Un champ correspond à une notion d'espace défini:) scalaire, c'est-à-dire une application différentiable de E dans R, possède comme différentielle une application de E dans l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut...) des formes linéaires sur E. L'identification du dual et de E à l'aide de l'isomorphisme φ permet de représenter les formes linéaires sur E par des éléments de E. La différentielle prend alors le nom de gradient. En physique, la force (Le mot force peut désigner un pouvoir mécanique sur les choses, et aussi, métaphoriquement, un pouvoir de la volonté ou encore une vertu morale « cardinale » équivalent au courage...) est un élément du dual des vecteurs de l'espace géométrique. Elle est identifiée à un vecteur de l'espace, même si elle n'est pas de même nature. Cette technique permet une représentation plus intuitive ainsi qu'un calcul simple. Le travail de la force, une grandeur importante en physique, s'interprète comme le produit scalaire avec la force.

Il est possible de construire de manière analogue deux morphismes ψ1 et ψ2 entre L(E) l'ensemble des endomorphismes de E dans L2(E) l'espace des formes bilinéaires. À un endomorphisme a, on associe ψ1a et ψ2a définis par :

\forall x,y \in E \quad \psi_{1a}(x,y) \, = \, \langle a(x) \, , \, y \rangle \quad et \quad \psi_{2a}(x,y) \, = \, \langle x \, , \, a(y)\rangle

Un raisonnement analogue au précédent montre que ψ1 et ψ2 sont deux applications linéaires injectives. La surjectivité est la conséquence du fait que L(E) et L2(E) ont même dimension, à savoir n2.

Proposition 2 —  Les applications ψ1 et ψ2 sont deux isomorphismes canoniques entre l'ensemble des endomorphismes et des formes bilinéaires sur un espace euclidien.

Adjoint d'un endomorphisme

Les isomorphismes précédents possèdent d'autres applications. La composée de ψ1 et de l'inverse (En mathématiques, l'inverse d'un élément x d'un ensemble muni d'une loi de composition interne · notée multiplicativement, est un élément y tel que x·y = y·x = 1, si 1...) de ψ2 est une application de L(E) dans lui-même. Comme ψ1 et ψ2 sont deux isomorphismes, la composée est encore un isomorphisme. Cette application associe à l'endomorphisme a, l'application, en général notée a* définie par :

\forall x,y \in E \quad \langle x\, , \, a^*(y) \rangle \; = \;  \langle a(x)\, , \, y \rangle

Définition et propriétés —  L'application de L(E) dans lui-même, qui à a associe l'endomorphisme a* est un isomorphisme involutif. L'image de a par cette application est appelée adjoint de a. Cet isomorphisme est diagonalisable et admet deux valeurs propres 1 et -1. Les vecteurs propres de valeurs propres 1 (resp. -1) sont appelés autoadjoints (resp. antisymétriques).

Il existe une famille importante d'endomorphismes, comprenant notamment les endomorphismes autoadjoints et les endomorphismes antisymétriques : ceux qui commutent avec leur adjoint. Une application linéaire ayant cette propriété est dite normale. Un cas particulier important est celui des automorphismes orthogonaux, c'est-à-dire les automorphismes u qui laissent invariant le produit scalaire :

\forall x,y \in E \quad \langle u(x)\, , \, u(y) \rangle \; = \;  \langle x\, , \, y \rangle

L'ensemble des automorphismes vérifiant cette propriété forme un groupe appelé groupe orthogonal (Soit E un espace vectoriel de dimension finie n sur un corps , muni d'une forme quadratique q. Un automorphisme orthogonal pour cette forme quadratique est un automorphisme linéaire f du -espace vectoriel E laissant invariant q. Autrement...).

La relation induite par le produit scalaire entre les formes bilinéaires et les endomorphismes possède de nombreuses applications, dans des domaines très divers (voir notamment l'article théorème spectral (En mathématiques, une quadrique désigne une surface d’un espace euclidien. Elle est définie par un polynôme du second degré dont les variables correspondent aux coordonnées d’un vecteur dans une...) dans le cas où les formes sont symétriques et les endomorphismes autoadjoints).

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