Algèbre de Lie - Définition

Relation avec les groupes de Lie et les groupes algébriques

Les algèbres de Lie sont naturellement associées aux groupes de Lie. Si G est un groupe de Lie et 1 son élément neutre, alors l'espace tangent en 1 à G est une algèbre de Lie. La même construction est valable pour les groupes algébriques. On note en général en petites lettres gothiques l'algèbre de Lie associée à un groupe de Lie, ou à un groupe algébrique. Ainsi, comme on l'a déjà vu, désigne l'ensemble des matrices carrées de taille n et désigne l'ensemble des matrices carrées de taille n de trace nulle. De la même façon, désigne l'ensemble des matrices carrées A de taille n antisymétriques, etc. Dans tous ces exemples, le crochet de Lie n'est rien d'autre que le commutateur : [A,B]=AB-BA.

Si φ est un morphisme de groupes entre deux groupes de Lie G et H, et si l'on suppose φ différentiable, alors sa différentielle en l'identité sera un morphisme entre les algèbres de Lie et de G et H. En particulier, à une représentation de G différentiable, on associe une représentation de .

La classification des algèbres de Lie est utilisée de façon cruciale pour l'étude des groupes de Lie, des groupes algébriques et de leurs représentations.

Généralisation

Il existe différentes sortes de généralisations des algèbres de Lie, on citera les superalgèbres de Lie, les groupes quantiques, les algèbres de Leibniz, les algèbres pré-Lie.