Base d'or - Définition

Représenter les rationnels sous forme de nombres en base d'or

Chaque nombre rationnel peut être représenté sous forme de développement en base , puisque tout élément du corps , le corps généré par les nombres rationnels et . Réciproquement, tout développement fini ou répétitif en base est un élément de . En voici quelques exemples :

• = 0,010 010 010... _φ
• = 0,001 010 000 010 100 000 101 000... _φ
• = 10,100 000_φ
• = 10,010 100 010 001 010 100 010 001 000 000 010 001 000 101 010 001 000 100 000 001 000 100 010 101 000 100 010 000 000 ..._φ

La justification qu'un rationnel donne un développement répétitif est analogue à la démonstration équivalente pour un système de numération en base n (n = 2, 3, 4,...). Essentiellement pour les longues divisions en base , il existe seulement un nombre fini de restes possibles, et donc, ils doivent être dans un motif répétitif. Par exemple avec 1/2 = 1/10,01_φ = 100_φ/1001_φ une longue division ressemble à ceci (notez que cette soustraction est un peu capricieuse)

                     .0 1 0 0 1              ------------------------      1 0 0 1 ) 1 0 0.0 0 0 0 0 0 0 0                  1 0 0 1                      échange: 10000 = 1100 = 1011                  -------                          donc 10000-1001 = 1011-1001 = 10                      1 0 0 0 0                        1 0 0 1                        -------                            etc.      

La réciproque est également vraie, vu qu'un nombre représenté en base est un élément du corps . Il découle de l'observation qu'une représentation récurrente avec une période k implique une série géométrique avec le rapport , qui sera la somme d'un élément de .

Une relation étroite : représentation de Fibonacci

Un système de numération en relation étroite est la représentation de Fibonacci utilisée pour les entiers. Dans ce système, seuls les chiffres 0 et 1 sont utilisés et les valeurs des places de ces chiffres sont les nombres de Fibonacci. Puisqu'avec une base , la suite de chiffre « 11 » est évitée par réarrangement en forme standard, en utilisant la relation de récurrence de Fibonacci :

Par exemple :

30 = 1×21 + 0×13 + 1×8 + 0×5 + 0×3 + 0×2 + 1×1 + 0×1 = 10100010_fib.

Cette relation de récurrence est à rapprocher de celle qui relie les puissances du nombre d'or ; à savoir :

Division

Aucune fraction (a/b, où a et b sont des nombres entiers, a non divisible par b) ne peut être représenté comme un nombre fini en base , en d'autres mots, tous les nombres en base finis représentables sont soit des entiers ou plus précisément un irrationnel dans le corps . Puisque les longues divisions ont seulement un nombre fini de restes possibles, une division de deux entiers (ou d'autres nombres avec une représentation finie en base ) aura un développement répétitif, comme montré ci-dessus.