Connexion de Koszul - Définition

Applications

Transport parallèle

Si c est une courbe différentiable de B, une section s de E le long de c est dite parallèle lorsqu'elle vérifie l'équation différentielle :

Calcul différentiel extérieur

Une fois fixé une connexion sur un fibré vectoriel E, il est possible de différentier de manière cohérente les formes différentielles à valeurs dans E. On définit ainsi un opérateur R-linéaire qui à une forme différentielle de degré k à valeurs dans E associe une forme différentielle de degré k+1 à valeurs dans E. Cet opérateur de différentiation est uniquement défini par la propriété suivante. Pour toute forme différentielle réelle α et pour toute section s de E, on a :

,

où se lit comme une 1-forme différentielle à valeurs dans E.

Identité de Bianchi :

Construction de connexions

Transport de connexions

A toute application différentiable est associé un fibré vectoriel, noté f ^* E, dont la fibre en b' soit la fibre de E en f(b'). Toute connexion de Koszul sur E induit une unique connexion sur f ^* E telle que pour toute section globale s de E et pour tout champ de vecteurs X de B', on a :

.

En particulier, si c: est une courbe de B, alors induit une connexion sur c ^* E qui est un fibré vectoriel sur I. Cette connexion induite est uniquement définie par la donnée de qu'on note par un abus de langage. Une section s de E le long de c est une section sur I de c ^* E.

Cet opérateur vérifie la règle de leibniz:

.

Somme et produit tensoriel

Soient et deux connexions respectivement définies sur des fibrés vectoriels E=E₁ et E₂ sur une même base B. Sont alors définies :

• Une connexion sur la somme directe , notée  :

 ;

• Une connexion sur le produit tensoriel , notée  :

 ;

• Une connexion sur le fibré dual E^* :

 ;

• Une connexion sur le fibré End(E₁,E₂) :

.

Connexion de Levi-Civita

Une métrique riemannienne g sur une variété différentielle M est un champ de formes bilinéaires symétriques définies positives. Plus exactement, une métrique g de classe C^k est la donnée en tout point x d'un produit scalaire g_x sur l'espace tangent T_xM, de sorte que pour tous champs de vecteurs X et Y sur M de classe C^k, la fonction g(X,Y) soit différentiable de classe C^k.

Si , il existe une unique connexion sans torsion sur M, appelée connexion de Levi-Civita, vérifiant : pour tous champs de vecteurs X, Y et Z,

La courbure d'une variété riemannienne réfère à la courbure de sa connexion de Levi-Civita. La connexion de Levi-Civita est importante car elle capte une forte information sur la géométrie locale et globale. On distingue habituellement les variétés de courbure nulle, de courbure positive et de courbure négative. Les variétés riemanniennes "à courbure constante" servent de modèle de comparaison.