Connexion de Koszul - Définition

Introduction

En géométrie différentielle, une connexion (de Koszul) est un opérateur sur les sections d'un fibré vectoriel. Cette notion a été introduite par Koszul en 1950 et formalise le transport parallèle de vecteurs le long d'une courbe en termes d'équation différentielle ordinaire. Les connexions sont des objets localement définis auxquels sont associés les notions de courbure et de torsion. L'un des exemples les plus simples de connexions de Koszul sans torsion est la connexion de Levi-Civita naturellement définie sur le fibré tangent de toute variété riemannienne.

L'ensemble des connexions de Koszul forme un espace affine réel dont l'espace directeur est l'espace des 1-formes différentielles de B à valeurs dans End(E), le fibré vectoriel des endomorphismes de E. Une connexion sur E induit des connexions sur les fibrés construits à partir de E par des opérations algébriques élémentaires (produit extérieur, produit tensoriel, ...). L'utilisation des connexions permet en particulier d'effectuer un calcul différentiel extérieur raisonnable sur les sections de E. Elles sont fortement utilisées en analyse.

Définitions

Soit E l'espace total d'un fibré vectoriel réel de rang fini de base B variété différentielle réelle. À une section globale s de E et un champ de vecteurs X de B est associée une section notée vérifiant les conditions suivantes :

• Linéarité en X : Pour toute fonction différentiable f, et pour tout champ de vecteur X de B, on a :

.

• Règle de Leibniz : Pour toute fonction différentiable f et pour tout champ de vecteur X de B, on a :

.

La première propriété implique en particulier que la valeur de en un point b de B ne dépend en fait que de X(b). La seconde propriété montre au contraire une dépendance par rapport aux variations premières de s en b. En particulier, si s est une section locale de E définie sur U et v est un vecteur de B en un point x de U, alors est bien défini comme vecteur de E_x. Lorsque E est le fibré tangent de B, on parle simplement de connexion (de Koszul) sur B sans plus de précisions. En général, la connexion est désignée par la lettre , d ou D.

Exemple

Les sections d'un fibré trivial sont les fonctions différentiables de B dans Rⁿ. Le fibré est muni de la connexion de Koszul notée d₀ appelée connexion triviale définie par :

.

Naturellement, les connexions de Koszul se transportent par isomorphisme de fibrés vectoriels (on reviendra sur ce point). En particulier tout fibré trivialisable admet des connexions de Koszul. Cependant, cette connexion dépend de la trivialisation choisie.

Un groupe de Lie G est parallélisable et admet donc des connexions de Koszul. Plus exactement, le choix d'une base de l'espace tangent en l'élément neutre induit par translation à gauche une trivialisation de TG ; on dispose donc d'une connexion de Koszul D₀ définie comme ci-dessus. Cette connexion ne dépend du choix de la base.

L'existence de connexions sur un fibré quelconque s'appuie sur un argument de partitions de l'unité. En supposant B dénombrable à l'infini, B admet un recouvrement localement fini {U_i} au plus dénombrable d'ouverts localement compacts au-dessus desquels le fibré E est trivialisable. Il existe une partition de l'unité {f_i}, le support de f_i étant inclus dans U_i. En particulier, au-dessus de U_i, il existe une connexion . La notation fait sens :

.

Comme la somme des f_i vaut 1, verifie la règle de Leibniz et est donc une connexion sur E.

Définitions équivalentes

Selon les auteurs, la définition d'une connexion de Koszul admet de légères variantes. Si Γ(E) désigne l'espace vectoriel des sections de E, une connexion peut être interprétée comme un opérateur linéaire en la première variable et R-linéaire en la seconde (vérifiant de plus la règle de Leibniz précédemment citée :

.

Autre interprétation possible, pour toute section s de E, peut être vue comme une 1-forme différentielle sur B à valeurs dans End(E). Dans cette optique, la connexion est regardé comme un opérateur R linéaire :

.

La règle de Leibniz se traduit alors ainsi : pour toute fonction differentiable f et pour toute section s de E,

.

En outre, les connexions de Koszul peuvent se définir de manière analogue sur les fibrés vectoriels complexes, en prenant en compte que l'espace des sections est un module sur l'algèbre des fonctions différentiables non plus réelles mais complexes. La seule différence est donc de tenir compte des fonctions différentiables complexes dans la règle de Leibniz.

Structure affine

Si et sont des connexions définies sur un même fibré vectoriel E, alors pour toute section s et pour tout fonction f, on a:

.

Leur différence est donc un opérateur -linéaire sur Γ(TB) à valeurs dans Γ(End(E)), ou encore une 1-forme différentielle α à valeurs dans End(E). On écrit symboliquement :

.

L'ensemble des connexions de Koszul sur E est alors naturellement un espace affine d'espace directeur l'espace des 1-formes differentielles à valeurs dans End(E). L'action du groupe G(E) est affine. Plus exactement, pour tout automorphisme g de E, on a :

.

En particulier, dans une trivialisation locale de E donnée par un isomorphisme Φ de fibres au-dessus de U de sur π ^{− 1}(U), une connexion definie sur E s'écrit :

,

où α est une 1-forme differentielle à valeurs matricielles.

Courbure

La courbure de est une forme différentielle à valeurs dans le fibré End(E) des endomorphismes linéaires de E. Pour tous champs de vecteurs X et Y de B et pour toute section s de E, on pose :

.

Dans une trivialisation locale, en reprenant les notations ci-dessus, si , alors un rapide calcul donne:

Φ ^* R = dα + [α,α],

où par convention:

[α,α](X,Y) = α(X)α(Y) − α(Y)α(X).

D'autres notions de courbures pour les connexions de Koszul existent mais elles dépendent de structures supplémentaires.

Torsion

Pour une connexion de Koszul définie sur une variété différentielle M, on appelle torsion le tenseur T défini sur M par :

Le fait que T soit effectivement un tenseur demande vérification. Une connexion est dite sans torsion lorsque sa torsion est nulle. Si α est une 1-forme différentielle à valeurs dans End(TM), et que est une connexion sans torsion, alors est sans torsion seulement si α définit une forme symétrique.