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Produit tensoriel - Définition

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- Introduction - Produit tensoriel - Produit tensoriel contracté

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On appelle produit tensoriel, ou produit de Kronecker, le produit de chaque composante d'un tenseur par chaque composante d'un autre tenseur. Le produit d'un tenseur d'ordre p avec un tenseur d'ordre q est un tenseur d'ordre p + q (si le produit n'est pas contracté).

Le produit tensoriel n'est pas commutatif mais pseudo-commutatif.

Produit tensoriel

Les exemples ci-dessous emploient la convention de sommation d'Einstein.

Avec cette convention, on n'écrit pas les sommations qui deviennent très vite lourdes à traîner. On somme les indices répétés deux fois de la quantité appropriée.

Attention, les formules des produits tensoriels en termes de composantes ne sont valables que si les tenseurs sont exprimés par rapport à une base orthonormée.

Les formules des produits tensoriels en termes de composantes fonctionnent toujours sur des tenseurs d'ordre 1 formant une base car une base quelconque est toujours exprimée en fonction d'une base orthonormée.

Produit tensoriel de deux tenseurs d'ordre 1 (vecteurs)

En termes de composantes :

\begin{align} (\underline A \otimes \underline B)^i_{\ j} &= C^i_{\ j} \\ &= A^iB_j \end{align}

En termes tensoriel :

i \in \{1,2,3\},~j \in \{1,2,3,4\}
\underline A \otimes \underline B = A^i \underline\delta_i \otimes B_j \underline\delta^j = A^i B_j \; (\underline\delta_i \otimes \underline\delta^j) = \sum_{i=1}^3 \sum_{j=1}^4 A^i B_j \; (\underline\delta_i \otimes \underline\delta^j)
=~
A^1 B_1 \; (\underline\delta_1 \otimes \underline\delta^1) \; + A^1 B_2 \; (\underline\delta_1 \otimes \underline\delta^2) \; + A^1 B_3 \; (\underline\delta_1 \otimes \underline\delta^3) \; + A^1 B_4 \; (\underline\delta_1 \otimes \underline\delta^4) \; +
A^2 B_1 \; (\underline\delta_2 \otimes \underline\delta^1) \; + A^2 B_2 \; (\underline\delta_2 \otimes \underline\delta^2) \; + A^2 B_3 \; (\underline\delta_2 \otimes \underline\delta^3) \; + A^2 B_4 \; (\underline\delta_2 \otimes \underline\delta^4) \; +
A^3 B_1 \; (\underline\delta_3 \otimes \underline\delta^1) \; + A^3 B_2 \; (\underline\delta_3 \otimes \underline\delta^2) \; + A^3 B_3 \; (\underline\delta_3 \otimes \underline\delta^3) \; + A^3 B_4 \; (\underline\delta_3 \otimes \underline\delta^4) \;
=~
A^1 B_1 \; \left ( \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} \right ) \; + A^1 B_2 \; \left ( \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} \right ) \; + A^1 B_3 \; \left ( \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} \right ) \; + A^1 B_4 \; \left ( \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} \right ) \; +
A^2 B_1 \; \left ( \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} \right ) \; + A^2 B_2 \; \left ( \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} \right ) \; + A^2 B_3 \; \left ( \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} \right ) \; + A^2 B_4 \; \left ( \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} \right ) \; +
A^3 B_1 \; \left ( \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} \right ) \; + A^3 B_2 \; \left ( \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} \right ) \; + A^3 B_3 \; \left ( \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} \right ) \; + A^3 B_4 \; \left ( \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} \right ) \;
=~
A^1 B_1 \; \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} + A^1 B_2 \; \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} + A^1 B_3 \; \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} + A^1 B_4 \; \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} +
A^2 B_1 \; \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} + A^2 B_2 \; \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} + A^2 B_3 \; \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} + A^2 B_4 \; \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} +
A^3 B_1 \; \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} + A^3 B_2 \; \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{bmatrix} + A^3 B_3 \; \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} + A^3 B_4 \; \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}A^1B_1 & A^1B_2 & A^1B_3 & A^1B_4 \\ A^2B_1 & A^2B_2 & A^2B_3 & A^2B_4 \\ A^3B_1 & A^3B_2 & A^3B_3 & A^3B_4\end{bmatrix} = \underline{\underline C}

On remarque que l'on peut exprimer ce produit tensoriel par un produit matriciel :

\underline A \otimes \underline B = \begin{bmatrix} A^1 \\ A^2 \\ A^3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} B_1 & B_2 & B_3 & B_4 \end{bmatrix}

Produit tensoriel de deux tenseurs d'ordre 2 (matrices)

En termes tensoriel :

\begin{align} \underline{\underline T} \otimes \underline{\underline G} &= T^{ij} \; (\underline \delta_i \otimes \underline \delta_j) \otimes G_{kl} \; (\underline \delta^k \otimes \underline \delta^l) \\ &= T^{ij} G_{kl} \; (\underline \delta_i \otimes \underline \delta_j \otimes \underline \delta^k \otimes \underline \delta^l) \\ &= \underline{\underline{\underline{\underline A}}} \end{align}

En termes de composantes :

\begin{align} (\underline{\underline T} \otimes \underline{\underline G})^{ij}_{\ \ kl} &= A^{ij}_{\ \ kl} \\ &= T^{ij}G_{kl} \end{align}

Produit tensoriel d'un tenseur d'ordre p et d'un tenseur d'ordre q

En termes de composantes :

\begin{align}(\mathbf{T} \otimes \mathbf{G})^{i_1 \cdots i_p}_{\ \ \ \ \ \; j_1 \cdots j_q} &= A^{i_1 \cdots i_p}_{\ \ \ \ \ \; j_1 \cdots j_q} \\ &= T^{i_1 \cdots i_p} G_{j_1 \cdots j_q} \end{align}

En termes tensoriel :

\begin{align}\mathbf{T} \otimes \mathbf{G} &= T^{i_1 \cdots i_p} \; (\underline\delta_{i_1} \otimes \cdots \otimes \underline\delta_{i_p}) \otimes G_{j_1 \cdots j_q} \; (\underline\delta^{j_1} \otimes \cdots \otimes \underline\delta^{j_q}) \\ &= T^{i_1 \cdots i_p} G_{j_1 \cdots j_q} \; (\underline\delta_{i_1} \otimes \cdots \otimes \underline\delta_{i_p} \otimes \underline\delta^{j_1} \otimes \cdots \otimes \underline\delta^{j_q}) \\ &= \mathbf{A} \end{align}

Produit tensoriel contracté

Produit tensoriel contracté une fois

On définit aussi le produit tensoriel contracté une fois comme ceci.

\begin{align} \underline{\underline T} \; \overline \otimes \; \underline{\underline G} &= T^{i j} \; (\underline \delta_i \otimes \underline \delta_j) \; \overline \otimes \; G_{k l} \; (\underline \delta^k \otimes \underline \delta^l) \\ &= T^{i j} G_{k l} \; (\underline \delta_i \otimes \underline \delta_j \; \overline \otimes \; \underline \delta^k \otimes \underline \delta^l) \\ &= T^{i j} G_{k l} \; (\underline \delta_i \otimes \underline \delta_j \cdot \underline \delta^k \otimes \underline \delta^l) \\ &= T^{i j} G_{k l} \delta_j^{\ k} (\underline\delta_i \otimes \underline\delta^l) \\ &=T^{i j} G_{j l} \; (\underline\delta_i \otimes \underline\delta^l) \\ &= \underline{\underline A} \end{align}

Le symbole \delta_j^{\ k} est appelé le delta de Kronecker

En termes de composantes :

\begin{align} ( \underline{\underline T} \; \overline\otimes \; \underline{\underline G} )^i_{\ l} &= (\underline{\underline T} \cdot \underline{\underline G} )^i_{\ l} \\ &= A^i_{\ l} \\ &= T^{i j} G_{j l} \end{align}

On procède de la même manière pour des tenseurs d'ordre différent.

Produit tensoriel contracté deux fois

On peut aussi effectuer un produit tensoriel contracté 2, 3, 4..., n fois. Ici, un exemple pour un produit contracté 2 fois entre un tenseur d'ordre 3 et un d'ordre 2.

\begin{align}\underline{\underline{\underline T}} \; \overline{\overline\otimes} \; \underline{\underline E} &= T^{i j k} \; (\underline\delta_i \otimes \underline\delta_j \otimes \underline\delta_k) \; \overline{\overline\otimes} \; E_{l m} \; (\underline\delta^l \otimes \underline\delta^m) \\ &= T^{i j k} E_{l m} \; (\underline\delta_i \otimes \underline\delta_j \otimes \underline\delta_k \; \overline{\overline\otimes} \; \underline\delta^l \otimes \underline\delta^m) \\ &= T^{i j k} E_{l m} \; (\underline\delta_i \otimes \underline\delta_j \otimes \underline\delta_k : \underline\delta^l \otimes \underline\delta^m) \\ &= T^{i j k} E_{l m} \delta_k^{\ l} \; (\underline\delta_i \otimes \underline\delta_j \cdot \underline\delta^m) \\ &= T^{i j k} E_{l m} \delta_k^{\ l} \delta_j^{\ m} \underline\delta_i \\ &= T^{i j k} E_{k m} \delta_j^{\ m} \underline\delta_i \\ &= T^{i j k} E_{k j} \underline\delta_i \\ &= T^{i j k} E_{j k} \underline\delta_i \\ &=\underline V \end{align}

Attention, Ejk n'est pas forcément égal à Ekj mais ici il y a sommation sur les indices j et k, l'ordre des indices n'importe donc pas.

En termes de composantes :

\begin{align} ( \underline{\underline{\underline T}} \; \overline{\overline\otimes} \; \underline{\underline E} )^i &= (\underline{\underline{\underline T}} : \underline{\underline E})^i \\ &= V^i \\ &= T^{i j k} E_{j k} \end{align}


Ici le résultat est un tenseur d'ordre 1 c'est-à-dire un vecteur. L'ordre du tenseur se calcule comme suit : O = P + Q − 2(n) Où O est l'ordre du nouveau tenseur, P et Q ceux du premier et deuxième tenseur alors que (n) est le nombre de fois que le produit est contracté.


On utilise aussi pour le produit contracté la notation suivante : un point entre les tenseurs, comme pour le produit scalaire classique \underline{u} . \underline{v} Pour les produits contractés multiples, on note l'opération avec des points superposés (autant de point que de contraction dans le produit). Ainsi, le double-produit contracté se note \underline{\underline{\sigma}}:\underline{\underline{\epsilon}} .

Produit tensoriel contracté n fois d'un tenseur d'ordre p et d'un tenseur d'ordre q

En termes de composantes :

\begin{align}(\mathbf{T} \; \overset{\overline{\underline\cdots}}{\otimes} \; \mathbf{G})^{i_1 \cdots i_{p-n}}_{\ \ \ \ \ \ \ \ \; j_{1+n} \cdots j_q} &= A^{i_1 \cdots i_{p-n}}_{\ \ \ \ \ \ \ \ \; j_{1+n} \cdots j_q} \\ &= T^{i_1 \cdots i_{p-n} i_{p-n+1} \cdots i_p} G_{i_{p-n+1} \cdots i_p j_{1+n} \cdots j_q} \end{align}

En termes tensoriel :

\begin{align}\mathbf{T} \; \overset{\overline{\underline\cdots}}{\otimes} \; \mathbf{G} &= T^{i_1 \cdots i_p} \; (\underline\delta_{i_1} \otimes \cdots \otimes \underline\delta_{i_p}) \; \overset{\overline{\underline\cdots}}{\otimes} \; G_{j_1 \cdots j_q} \; (\underline\delta^{j_1} \otimes \cdots \otimes \underline\delta^{j_q}) \\ &= T^{i_1 \cdots i_p} G_{j_1 \cdots j_q} \; (\underline\delta_{i_1} \otimes \cdots \otimes \underline\delta_{i_p} \; \overset{\overline{\underline\cdots}}{\otimes} \; \underline\delta^{j_1} \otimes \cdots \otimes \underline\delta^{j_q}) \\ &= T^{i_1 \cdots i_p} G_{j_1 \cdots j_q} \delta_{i_p}^{\ \ j_1} \cdots \delta_{i_{p-n+1}}^{\ \ \ \ \ \ \ j_n} \; (\underline\delta_{i_1} \otimes \cdots \otimes \underline\delta_{i_{p-n}} \otimes \underline\delta^{j_{1+n}} \otimes \cdots \otimes \underline\delta^{j_q}) \\ &= T^{i_1 \cdots i_{p-n} i_{p-n+1} \cdots i_p} G_{i_p \cdots i_{p-n+1} j_{1+n} \cdots j_q} \; (\underline\delta_{i_1} \otimes \cdots \otimes \underline\delta_{i_{p-n}} \otimes \underline\delta^{j_{1+n}} \otimes \cdots \otimes \underline\delta^{j_q}) \\ &= T^{i_1 \cdots i_{p-n} i_{p-n+1} \cdots i_p} G_{i_{p-n+1} \cdots i_p j_{1+n} \cdots j_q} \; (\underline\delta_{i_1} \otimes \cdots \otimes \underline\delta_{i_{p-n}} \otimes \underline\delta^{j_{1+n}} \otimes \cdots \otimes \underline\delta^{j_q}) \\ &= \mathbf{A} \end{align}
- Introduction - Produit tensoriel - Produit tensoriel contracté
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