Variété riemannienne - Définition

Introduction

En mathématiques, et plus précisément en géométrie, une variété riemannienne est une variété différentielle ayant une structure supplémentaire (une métrique) permettant de définir la longueur d'un chemin entre deux points de la variété.

Définitions et exemples élémentaires

Définition formelle

Une variété riemannienne est la donnée d'une variété différentielle M et, en chaque point m, d'une forme quadratique définie positive g_m sur l'espace tangent T_m avec des hypothèses de régularité supplémentaires. Les espaces tangents (T_mM,g_m) sont des espaces euclidiens. Les hypothèses de régularité s'énoncent de deux manières équivalentes :

1. L'application est une section globale de classe C^k du fibré vectoriel S²T ^* M.
2. Pour tout champ de vecteurs X,Y de M, l'application est de classe C^k.

La donnée g est appelée métrique riemannienne sur M. Les métriques riemanniennes existent sur toute variété différentielle (paracompacte) et forment un cône convexe fermé de ΓS²T ^* M (avec des topologies raisonnables).

Si (M,g₁) et (N,g₂) sont deux variétés riemanniennes, une isométrie locale est une application différentiable vérifiant f ^* g₂ = g₁. Autrement dit, les différentielles sont des applications linéaires isométriques. Par le théorème d'inversion locale, toute isométrie est un difféomorphisme local.

Une isométrie est un difféomorphisme et une isométrie locale.

Longueur et distance.

Les variétés riemanniennes sont les exemples les plus élémentaires de variétés de Finsler. Une métrique riemannienne g sur une variété différentielle connexe M définit sur chaque espace tangent une norme (de Banach), donnée par :

Par définition, la longueur d'une courbe C¹ par morceaux γ: [a, b] → M est définie par :

• La longueur d'une courbe est invariante par reparamétrage régulier.
• La longueur du concaténé de deux courbes C¹ par morceaux est la somme des longueurs.

Pour , on définit :

où l'infinimum porte sur toutes les courbes C¹ par morceaux d'origine x et d'extrémité y.

Comme les notations le laissent suggérer, d est une distance sur M appelée distance riemannienne. Il est à remarquer que cette dernière redéfinit la topologie de M.

Exemples fondamentaux

Les sphères

L'espace hyperbolique

Disque de Poincaré : L'espace hyperbolique (Hⁿ,g) est le disque unité de , muni de la métrique :

Demi-plan de Poincaré : Ce modèle du plan hyperbolique est donné par la métrique définie sur le demi-plan supérieur  :

Une isométrie explicite du disque unité sur le demi-plan supérieur est donnée par l'inversion de pôle  :

Remarque : L'espace hyperbolique H² intervient en arithmétique, domaine dans lequel on utilise habituellement le modèle du demi-plan supérieur. Toutefois, en géométrie, les goûts sont très largement partagés : le modèle du disque de Poincaré offre l'avantage d'un meilleur graphisme dans les figures. Il existe d'autres modèles (comme le modèle de l'hyperboloïde), peu utilisés en pratique.

Se référer à la géométrie hyperbolique pour un exposé plus complet sur le sujet.

Courbure

Courbure sectionnelle

Courbure et topologie

De la connexion aux géodésiques

Connexion de Levi-Civita

Sur une variété riemannienne (M,g), il existe une unique connexion sans torsion telle que, pour tout champ de vecteurs X,Y,Z :

X.g(Y,Z) = g(D_XY,Z) + g(Y,D_XZ)

Cette connexion est appelée la connexion de Levi-Civita de (M,g), ou la connexion canonique.

Si est une application différentiable, un champ de vecteurs le long de f est une section globale du fibré vectoriel f ^* TM, soit donc une application telle que, pour tout point , on a : . On note l'espace des champs de vecteurs le long de f.

Équations des géodésiques

Théorème de Hopf-Rinow

Les propriétés suivantes sont équivalentes :

• Pour tout point m, l'application exp_m est définie sur T_mM
• La variété (M,g) est géodésiquement complète, ie : les géodésiques sont définies sur .
• L'espace M est complet pour la distance riemannienne.
• Les boules fermées et bornées sont compactes.