Constantes mathématiques (représentées en fraction continuée) - Définition

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Voici une table de constantes mathématiques exprimées par leurs notations et par leurs représentations en fraction continue :

(Constantes connues comme étant irrationnelles avec un développement en fraction continue infini : leur dernier terme est ....)

Nom	Ensemble de nombres	Définition ou valeur approchée	Représentations en fraction continue
Λ		> – 2,7 · 10^-9
$0\,\!$	$\mathbb{N}$	$0\,\!$	$[0;]\,\!$
1/2	$\mathbb{Q}$	$1/2\,\!$	$[0; 2]\,\!$
C₂		$C_2 = \prod_{p\ge 3} \frac{p(p-2)}{(p-1)^2}$	$C_2= [0; 1, 1, 1, 16, 2, 2, 2, 2, 1, 18, 2, 2, 11, 1, 1, 2, 4, 1, 16, 3, 2, 4, 21, 2, 405, 2, 1, 33, 1, 1] = 0 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \cdots}}}$
γ		$\gamma = \lim_{n \rightarrow \infty } \left( 1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{n} - \ln(n) \right)$ où ln représente le logarithme népérien.	$\gamma = [0; 1, 1, 2, 1, 2, 1, 4, 3, 13, 5, 1, 1, 8, 1, 2, 4, 1, 1, 40, 1, 11, 3, 7, 1, 7, 1, 1, 5, 1, 49, ...] = 0 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{2}{1 + \cdots}}}$
β^*		$x_{n+1} = x_n \pm \beta x_{n-1}\,\!$ dégénère exponentiellement quand $n \rightarrow \infty\,\!$ avec une probabilité 1.	$\beta^{*} = [0; 1, 2, 2, 1, 3, 5, 1, 2, 6, 1, 1, 5] = 0 + \frac{1}{1 + \frac{2}{1 + \frac{2}{1 + \cdots}}}$
K	$\mathbb{R}\backslash\mathbb{Q}$ ?	$\lim_{x\rightarrow\infty} \frac{N(x)\sqrt{\ln(x)}}{x}$ où N(x) est le nombre d'entiers positifs inférieurs à x qui sont la somme de deux carrés.	$K = [0; 1, 3, 4, 6, 1, 15, 1, 2, 2, 3, 1, 23, 3, 1, 1, 3, 1, 1, 7, 2, 3, 3, 18, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 6] = 0 + \frac{1}{1 + \frac{3}{1 + \frac{4}{1 + \cdots}}}$
B₄		$B_4 = \left(\frac{1}{5} + \frac{1}{7} + \frac{1}{11} + \frac{1}{13}\right) + \left(\frac{1}{11} + \frac{1}{13} + \frac{1}{17} + \frac{1}{19}\right) + \left(\frac{1}{101} + \frac{1}{103} + \frac{1}{107} + \frac{1}{109}\right) + \cdots$	$B_4 = [0; 1, 6, 1, 2, 1, 2, 956, 8, 1, 1, 1, 23] = 0 + \frac{1}{1 + \frac{6}{1 + \frac{1}{1 + \cdots}}}$
K		$K = \frac{1}{1^2} - \frac{1}{3^2} + \frac{1}{5^2} - \frac{1}{7^2} + ...$	$K = [0; 1, 10, 1, 8, 1, 88, 4, 1, 1, 7, 22, 1, 2, 3, 26, 1, 11, 1, 10, 1, 9, 3, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2] = 0 + \frac{1}{1 + \frac{10}{1 + \frac{1}{1 + \cdots}}}$
M₁		$M = \lim_{n \rightarrow \infty } \left( \sum_{p \leq n} \frac{1}{p} - \ln(\ln(n)) \right)=\gamma + \sum_{p} \left[ \ln \left( 1 - \frac{1}{p} \right) + \frac{1}{p} \right]$	$M_1= [0; 3, 1, 4, 1, 2, 5, 2, 1, 1, 1, 1, 13, 4, 2, 4, 2, 1, 33, 296, 2, 1, 5, 19, 1, 5, 1, 1, 1, 1, 1] = 0 + \frac{3}{1 + \frac{1}{1 + \frac{4}{1 + \cdots}}}$
$1\,\!$	$\mathbb{N}$	$1\,\!$	[1;]
Nombre d'or (phi)	$\overline{\mathbb{Q}}$	$\phi = \frac{\sqrt{5} + 1}{2}$	$\phi = [1; 1, 1, 1, ...] = 1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \cdots}}}$
E_B		$E=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n-1}$	$E_B = [1; 1, 1, 1, 1, 5, 2, 1, 2, 29, 4, 1, 2, 2, 2, 2, 6, 1, 7, 1, 6, 2, 1, 1, 1, 20, 1, 3, 1, 1, 1, ...] = 1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \cdots}}}$
B₂		$B_2 = \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{5}\right) + \left(\frac{1}{5} + \frac{1}{7}\right) + \left(\frac{1}{11} + \frac{1}{13}\right) + \left(\frac{1}{17} + \frac{1}{19}\right) + \left(\frac{1}{29} + \frac{1}{31}\right) + \cdots$	$B_2 = [1; 1, 9, 4, 1, 1, 8, 3, 4, 7, 1, 3, 3, 1, 2, 1, 1, 12, 4, 2, 1, 2, 2] = 1 + \frac{1}{1 + \frac{9}{1 + \frac{4}{1 + \cdots}}}$
K		$\sqrt[n]{\|f_n\|} \to 1,13198824\dots \mbox{quand }n \to \infty.$ où f_n est une suite de Fibonacci aléatoire	$K = [1; 7, 1, 1, 2, 1, 3, 2, 1, 2, 1, 17, 1, 1, 2, 1, 2, 4, 1, 2] = 1 + \frac{7}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \cdots}}}$
√2	$\mathbb{R}\backslash\mathbb{Q}$	$\sqrt{2}\,\!$	$\sqrt{2} = [1; 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, ...] = 1 + \frac{2}{1 + \frac{2}{1 + \frac{2}{1 + \cdots}}}$
μ		Unique zéro positif de la fonction ${\rm li} (x) = \int_{0}^{x} \frac{dt}{\ln (t)} \; .$	$\mu = [1; 2, 4, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 1, 2, 47, 2, 4, 1, 12, 1, 1, 2, 2, 1, 7, 2, 1, 1, 1, 2, 30, 6, 3, 6] = 1 + \frac{2}{1 + \frac{4}{1 + \frac{1}{1 + \cdots}}}$
$2\,\!$	$\mathbb{N}$	$2\,\!$	$[2;]\,\!$
α		≈ 2,502 907 875 095 892 822 283 902 873 218 215 78	$\alpha = [2; 1, 1, 85, 2, 8, 1, 10, 16, 3, 8, 9, 2, 1, 40, 1, 2, 3, 2, 2, 1, 17, 1, 1, 5, 3, 2, 6, 3, 5, 1] = 2 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{85}{1 + \cdots}}}$
e		$e = \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n$	$e = [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, 10, 1, 1, 12, 1, 1, 14, 1, 1, 16, 1, 1, 18, 1, 1, 20, 1, ...] = 2 + \frac{1}{1 + \frac{2}{1 + \frac{1}{1 + \cdots}}}$
K_h		Pour : $x = a_0 + \frac{1}{a_1 + \frac{1}{a_2 + \frac{1}{a_3 + ...}}}$ , il est presque toujours vrai que $\lim_{n \rightarrow \infty } \left( \prod_{i=1}^n a_i \right) ^{1/n} = K \approx 2,6854520010\dots$	$K_h = [2; 1, 2, 5, 1, 1, 2, 1, 1, 3, 10, 2, 1, 3, 2, 24, 1, 3, 2, 3, 1, 1, 1, 90] = 2 + \frac{1}{1 + \frac{2}{1 + \frac{5}{1 + \cdots}}}$
3	$\mathbb{N}$	$3\,\!$	$[3;]\,\!$
π		Produit de Wallis : $\frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdots = \frac{\pi}{2}$	$\pi = [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 14, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 1, 84, 2, 1, 1, 15, 3, 13, 1, 4, 2, ...] = 3 + \frac{7}{1 + \frac{15}{1 + \frac{1}{1 + \cdots}}}$
4	$\mathbb{N}$	$4\,\!$	$[4;]\,\!$
δ		≈ 4,669 201 609 102 990 671 853 203 820 466 201 61	$\delta = [4; 1, 2, 43, 2, 163, 2, 3, 1, 1, 2, 5, 1, 2, 3, 80, 2, 5, 2, 1, 1, 1, 33, 1, 1, 53, 1, 1, 1, 1, 1] = 4 + \frac{1}{1 + \frac{2}{1 + \frac{43}{1 + \cdots}}}$

👽 Découvrir enfin une vie extraterrestre

🎯 Une piste très prometteuse pour empêcher les rechutes du cancer du sein

✨ Pourquoi les étoiles paraissent plus brillantes l'été ?

🌱 Comment les plantes résistent-elles à une lumière trop intense ?

⚫ Une IA révèle que le trou noir supermassif de notre galaxie pointe vers la Terre

🏔️ Découverte d'un monde perdu sous l'Antarctique

🌍 Découverte: cette règle universelle régit toute vie sur terre

⏳ L'Univers pourrait disparaître plus tôt que prévu: ce que révèle cette étude

🌍 Les dernières mesures révèlent un niveau de CO₂ jamais vu depuis 4 millions d'années

🛡️ Le paradoxe des gangs de rue

💰 Quelle quantité d'or existe-t-il vraiment sur Terre ?

🦟 Pourquoi les moustiques sont plus nombreux et piquent davantage en été ?

⚫ Ces trous noirs interagissent avec la lumière fossile du Big Bang

🦕 Et si les dinosaures détenaient le secret pour vaincre le cancer ?

😎 Comment font les lunettes de soleil pour filtrer les UV ?

🚶‍♂️‍➡️ La marche des babouins éclaire l'évolution de la bipédie humaine

🔭 James Webb capture cette image directe d'une étrange planète à 60 années-lumière

🦋 Pourquoi et comment les chenilles deviennent-elles des papillons ?

🔭 Voici la plus grande carte de l'Univers. Ses révélations sont surprenantes !

😴 Penser que l'on est éveillé alors que l'on dort, normal ?

🌊 Ce cratère raconte l'histoire de l'eau sur Mars

🐝 Comment les fleurs attirent-elles les insectes pollinisateurs ?

💥 La collision entre notre Voie lactée et la galaxie d'Andromède remise en question

🎶 Pourquoi les oiseaux chantent-ils autant et si fort au printemps ?

💡 Générer de la lumière à partir du vide, c'est possible

Découverte d'un deuxième système d'apprentissage dans le cerveau

☀️ Comment se produit un coup de chaleur et comment s'en protéger ?

⚽ Comment fonctionne la physique d'un tir puissant au foot ?

🧠 Un algorithme révèle comment notre cerveau se motive

🔭 Une si grande planète orbite une si petite étoile, comment est-ce possible ?

🐋 Les baleines développent de nouvelles méthodes pour communiquer avec nous

🥚 Le noyau de Mars sent l'œuf pourri

🧠 On sait enfin pourquoi le sémaglutide fait maigrir

🌱 La vie pourrait renaître sur Europe après la mort de la Terre

🌿 Confirmation scientifique: ce remède ancestral fait naturellement maigrir, et pas qu'un peu !

💥 Des astronomes identifient les plus puissantes explosions depuis le Big Bang

🦕 Ce crâne de stégosaure, le plus complet jamais découvert, réécrit l'histoire

🛏️ Les punaises de lit, ces compagnons indésirables depuis la préhistoire

🕸️ Connaissez-vous la toile cosmique, l'architecte de l'Univers ?

🌋 L'éruption de l'Etna vue depuis l'espace

🐋 Il y a 20 000 ans, l'Homme fabriquait des outils avec des os de baleines

🟠 Quel est le rôle de ce labyrinthe sur Mars ?

🎯 Cette stratégie innovante contre le cancer du sein offre une survie de 100%

💥 Le pulsar à trou noir: un objet qui intrigue les astrophysiciens

🐒 Première: ces singes kidnappent les bébés d'une autre espèce

🌍 Découverte d'une super-Terre à l'habitabilité intermittente

🧠 Ces cellules pourraient jouer un rôle bien plus important que les neurones dans la mémoire

🛰️ Une carte photographique de la Terre toutes les 35 minutes

Pourquoi l'oxygène est-il si indispensable à autant d'êtres vivants ?

🐱 Pourquoi certains chats miaulent et ronronnent plus que d'autres ?

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