Fractale - Définition

Domaines de validité

Les figures fractales n'ont pas à satisfaire toutes les propriétés mentionnées ci-dessus pour servir de modèles. Il leur suffit de réaliser des approximations convenables de ce qui intéresse dans un domaine de validité donné (le livre fondateur de Mandelbrot Les Objets fractals en donne une grande variété d'exemples). La taille des alvéoles du poumon, par exemple, taille à partir de laquelle celui-ci cesse de se subdiviser de façon fractale, est liée à la taille du libre parcours moyen de la molécule d'oxygène à température du corps.

La dimension utilisée est celle de Hausdorff, et on observe qu'elle correspond à une caractéristique nouvelle des surfaces irrégulières. On connait les plages de validité des dimensions de Hausdorff observées sur Terre pour les montagnes, les nuages, etc.

Des exemples de figures fractales sont fournis par les ensembles de Julia et de Mandelbrot, la fractale de Lyapunov, l'ensemble de Cantor, le tapis de Sierpinski, le triangle de Sierpinski, la courbe de Peano ou le flocon de Koch. Les figures fractales peuvent être des fractales déterministes ou stochastiques. Elles apparaissent souvent dans l'étude des systèmes chaotiques.

Les figures fractales peuvent être réparties en trois grandes catégories :

1. Les systèmes de fonctions itérées. Ceux-ci ont une règle de remplacement géométrique fixe (l'ensemble de Cantor, le tapis de Sierpinski, le triangle de Sierpinski, la courbe de Peano, le flocon de Koch) ;
2. Les fractales définies par une relation de récurrence en chaque point dans un espace (tel que le plan complexe). Des exemples de ce type sont les ensembles de Mandelbrot et la fractale de Lyapunov ;
3. Les fractales aléatoires, générées par des processus stochastiques et non déterministes, par exemples les paysages fractals.

De toutes ces figures fractales, seules celles construites par des systèmes de fonctions itérés affichent habituellement la propriété d'autosimilitude, signifiant que leur complexité est invariante par changement d'échelle.

Les fractales aléatoires sont les plus utilisées dans la pratique, et peuvent servir à décrire de nombreux objets extrêmement irréguliers du monde réel. Les exemples incluent des nuages, les montagnes, les turbulences de liquide, les lignes des côtes et les arbres. Les techniques fractales ont aussi été utilisées dans la compression d'image fractale, de même que dans beaucoup de disciplines scientifiques.

Domaines d'application

Les domaines d'application des fractales sont très nombreux, on peut citer en particulier

• en biologie, répartition des structures des plantes, bactéries, feuilles, branches d'arbres,..
• en géologie, étude du relief, côtes et cours d'eau, structures de roches, avalanches...
• en paléontologie, loi de puissance des apparitions et extinctions d'espèces
• en morphologie animale, structures des invertébrés, plumes d'oiseaux, ...
• en médecine, structure des poumons, intestins, battements du coeur
• en météorologie, nuages, vortex, banquise, vagues scélérates, turbulences, structure de la foudre
• en vulcanologie, prévision d'éruptions volcaniques, tremblements de terre
• en astronomie avec la description des structures de l'univers, cratères sur la Lune, répartition des exoplanètes et des galaxies...
• en sciences humaines, structure urbaine, évolution de la démographie
• en économie, prévision des krachs boursiers
• dans les arts, art graphiques bien sur, mais aussi en littérature, en musique, au cinéma...

Tous ces domaines - et bien d'autres - peuvent bénéficier de la description et d'une modélisation en termes fractals des phénomènes associés.