Graphe de Biggs-Smith - Définition

Introduction

Le graphe de Biggs-Smith est, en théorie des graphes, un graphe 3-régulier possédant 102 sommets et 153 arêtes.

Propriétés

Propriétés générales

Le diamètre du graphe de Biggs-Smith, l'excentricité maximale de ses sommets, est 7, son rayon, l'excentricité minimale de ses sommets, est 7 et sa maille, la longueur de son plus court cycle, est 9. Il s'agit d'un graphe 3-sommet-connexe et d'un graphe 3-arête-connexe, c'est-à-dire qu'il est connexe et que pour le rendre déconnecté il faut le priver au minimum de 3 sommet ou de 3 arêtes.

La graphe de Biggs-Smith est l'un des 13 graphes cubiques distance-réguliers. Il est également hamiltonien et possède 2 849 472 cycles hamiltoniens distincts.

Coloriage

Le nombre chromatique du graphe de Biggs-Smith est 3. C'est-à-dire qu'il est possible de le colorer avec 3 couleurs de telle façon que deux sommets reliés par une arête soient toujours de couleurs différentes. Ce nombre est minimal.

L'indice chromatique du graphe de Biggs-Smith est 3. Il existe donc une 3-coloration des arêtes du graphe tels que deux arêtes incidentes à un même sommet soient toujours de couleurs différentes. Ce nombre est minimal.

Propriétés algébriques

Le graphe de Biggs-Smith est symétrique, c'est-à-dire que son groupe d'automorphismes agit transitivement sur ses arêtes, ses sommets et ses arcs. Il est donc également arête-transitif et sommet-transitif. Le graphe de Biggs-Smith est l'unique graphe cubique symétrique à 102 sommets et sa notation dans le Foster Census, le catalogue classifiant tout les graphes cubiques symétriques, est F102A.

Le groupe d'automorphisme du graphe de Biggs-Smith est d'ordre 2 448 et est isomorphe au groupe projectif linéaire PSL(2,17).

Le polynôme caractéristique du graphe de Biggs-Smith est : (x − 3)(x − 2)¹⁸x¹⁷(x² − x − 4)⁹(x³ + 3x² − 3)¹⁶. Le graphe de Biggs-Smith est déterminé de façon unique par son spectre de graphe, l'ensemble des valeurs propres de sa matrice d'adjacence.

Représentations