Homologie singulière - Définition

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Propriétés

Homologie et connexité par arcs

On montre que $H 0 (X)$ est le groupe libre commutatif (ou le module libre) ayant autant de générateurs qu'il y a de composantes connexes par arcs de X. En particulier, si X est connexe par arcs, $H 0$ est isomorphe à $\mathbb Z$ (ou à A si on considère les modules sur un anneau A).

Par ailleurs, si X se décompose en sa famille $X k$ de composantes connexes par arcs, alors, pour tout q, $H q (X)$ est égal à la somme directe des $H q (X k)$ . Il suffit donc de chercher les groupes d'homologie d'espaces connexes par arcs.

Homologie et homotopie

Soit X un espace connexe par arcs. Un 1-cycle de X est une 1-chaîne dont le bord est nul. Intuitivement, on peut le voir comme un chemin qui se referme, ou un lacet. Par ailleurs, un 1-bord est le bord d'une 2-chaîne. Si ce bord se décompose en deux cycles, ces deux cycles seront considérés comme égaux dans le groupe d'homologie $H 1 (X)$ , celui-ci étant le quotient de l'ensemble des cycles par l'ensemble des bords. Par ailleurs, on conçoit qu'on puisse déformer continûment l'un des cycles en l'autre en passant par la surface dont ils constituent les bords. On reconnaît alors la notion d'homotopie. Il n'est donc pas étonnant qu'il existe un rapport entre le premier groupe d'homotopie ou groupe fondamental de Poincaré $π 1 (X)$ et le premier groupe d'homologie $H 1$ . Le théorème d'Hurewicz énonce que l'application qui, à une classe d'homotopie d'un lacet, associe la classe d'homologie de la 1-chaîne correspondant à ce lacet, est un morphisme surjectif de $π 1 (X)$ sur $H 1 (X)$ , dont le noyau est le sous-groupe des commutateurs de $π 1 (X)$ . Il en résulte que $H 1 (X)$ est l'abélianisé de $π 1 (X)$ , autrement dit isomorphe à $π 1 (X)$ après avoir rendu la loi de composition du groupe commutative.

Par exemple, le groupe fondamental d'un espace X en forme de 8 est le groupe libre engendré par deux éléments. Son groupe d'homologie $H 1$ est le groupe abélien libre engendré par deux éléments.

Nombres de Betti et caractéristique d'Euler

Considérons le n-ème groupe d'homologie $H n$ . Il possède en général un sous-groupe de torsion T, constitué de ses éléments ayant un ordre non nul fini. Le groupe quotient $H n / T$ est alors un groupe libre dont le nombre $b n$ de générateurs est le rang de $H n$ , et s'appelle n-ème nombre de Betti.

On définit alors la caractéristique d'Euler de l'espace X comme étant égale à :

χ(X) =	∑	( − 1)ⁿb_n
	n

si cette somme a un sens. Dans le cas d'un espace X construit à partir de $a 0$ points, reliés par $a 1$ chemins, liés par $a 2$ faces, etc... on montre que :

χ(X) =	∑	( − 1)ⁿa_n
	n

Résultats

Le calcul effectif des groupes d'homologie est en général difficile. Nous donnons ici les résultats les plus classiques. Une version simplifiée de l'homologie singulière, l'homologie simpliciale permet de calculer les groupes d'homologie des espaces topologiques admettant une triangulation.