Matrice densité

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La matrice densité, ou opérateur densité est une entité mathématique introduite par le mathématicien et physicien John von Neumann. Elle permet de résumer en une seule matrice tout l'ensemble possible des états quantiques d'un système physique donné à un instant donné, mariant ainsi mécanique quantique et physique statistique.

Définition

Cas pur

La description du système se fait ici grâce à un vecteur d'état $∣ ψ (t)⟩$ que l'on peut développer sur la base des ${∣ u_{n} ⟩}$ :

∣ ψ (t) ⟩ = n \sum c_{n} (t) \cdot ∣ u_{n} ⟩

avec $\sum_{n} ∣ c_{n} (t) ∣^{2} = 1$

L'opérateur densité est défini pour un état pur par :

\overset{ρ}{^} = ∣ ψ (t)⟩ ⟨ ψ (t) ∣ = n, p \sum c_{n}^{*} (t) c_{p} (t) ∣ u_{p} ⟩ ⟨ u_{n} ∣

Mélange statistique d'états purs

En admettant qu'un certain système physique puisse être, à un certain instant t, dans un mélange statistique (fini ou infini) d'états quantiques $∣ ψ_{i} ⟩$ avec des probabilités p_i (où $\sum_{i} p_{i} = 1$ ) , alors la matrice densité représentant l'ensemble de ces états est :

\overset{ρ}{^} = i \sum p_{i} ∣ ψ_{i} ⟩ ⟨ ψ_{i} ∣

L'aspect statistique introduit ici est de deux natures, l'une classique et l'autre quantique :

1. classique : dû à l'estimation du ket par une distribution statistique des différents kets possibles,

2. quantique : incertitude quantique fondamentale même si le système est parfaitement déterminé.

Les éléments de la matrice densité valent :

\overset{ρ}{^}_{p n} = i \sum p_{i} ⟨ u_{p}^{(i)} ∣ \overset{ρ}{^}_{i} ∣ u_{n}^{(i)} ⟩ = i \sum p_{i} c_{n}^{(i) *} c_{p}^{(i)}

Propriété

La matrice obtenue a les propriétés suivantes :

Elle est hermitienne, $\overset{ρ}{^} = \overset{ρ}{^}^{†}$ , elle peut donc être diagonalisée, et ses valeurs propres sont positives.
Sa trace est égale à 1, $T r (\hat{A}) = 1$ , conservation de la probabilité totale.
Elle doit être définie positive ou nulle.
Dans le cas d'un état pur, l'opérateur densité est alors un projecteur : $\overset{ρ}{^}^{2} = \overset{ρ}{^}$ .
$T r (ρ^{2}) \leq 1$ , avec égalité si et seulement si le système physique est dans un état pur (c'est-à-dire que tous les p_i sont nuls sauf un).

Valeur moyenne

On peut calculer la valeur moyenne d'une observable A à partir de la formule :

⟨ \hat{A} ⟩ = ⟨ Ψ∣ \hat{A} ∣Ψ ⟩ = T r (\hat{A} \overset{ρ}{^}) = T r (\overset{ρ}{^} \hat{A})

avec $\overset{ρ}{^} = \sum_{i}^{N} p_{i} \overset{ρ}{^}_{i}$ est la matrice densité d'un mélange statistique d'états.

Evolution avec le temps

L'évolution temporelle du vecteur d'état est donné par l'équation de Schrödinger dépendante du temps :

\hat{H} ∣ Ψ (t) ⟩ = i ℏ \frac{d}{d t} ∣ Ψ (t) ⟩

Lien avec l'entropie

Enfin, on peut définir l'entropie de Von Neumann :

S = - k_{B} T r (\overset{ρ}{^} ln (\overset{ρ}{^}))

où k_B est la constante de Boltzmann.

L'entropie d'un état pur est nulle, car il n'y a aucune incertitude sur l'état du système. On peut aussi trouver une base où la matrice est diagonale, avec des 0, et un 1 sur la diagonale, ce qui donne bien une entropie égale à 0.