Nombre cyclique - Définition
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Propriétés d'un nombre cyclique
- Le produit d'un nombre cyclique avec le nombre premier ayant servi à le générer consiste en une séquence de chiffres 9. 142857 × 7 = 999999.
- L'addition de l'entier correspondant à la première moitié des chiffres d'un nombre cyclique à l'entier correspondant à la seconde moitié de ceux-ci consiste en une séquence de chiffres 9. 142 + 857 = 999.
- Un nombre cyclique est un nombre parasite.
- Un nombre cyclique peut être produit en commençant avec le nombre premier qui le génère, puis en additionnant le double du nombre précédemment additionné (en le divisant par 100 à chaque fois) de la manière suivante :
14 28 56 112 224 448 + 896 ------------------- 142857142857...
Construction des nombres cycliques
Les nombres cycliques peuvent être construits par l'algorithme suivant :
Soit b la base (10 en base décimale).
Soit p un nombre premier ne divisant pas b.
Soit t = 0.
Soit r = 1.
Soit n = 0.
Répéter ce qui suit :
- Soit t = t + 1
- Soit x = r · b
- Soit d = int(x / p)
- Soit r = x mod p
- Soit n = n · b + d
- Si r ≠ 1, répéter.
Si t = p − 1 alors n est un nombre cyclique.
Cette procédure fonctionne en calculant les décimales de 1/p en base b, par division longue. r est le reste à chaque étape et d est la décimale produite.
L'étape
- n = n · b + d
sert uniquement à colliger les chiffres. Pour les ordinateurs incapables d'opérer sur des nombres entiers très grands, les chiffres doivent être exprimés ou conservés autrement.
Il est notable que si t excède p/2, le nombre est forcément cyclique, sans besoin de calculer les chiffres restants.
Bibliographie
- Gardner, Martin, Mathematical Circus: More Puzzles, Games, Paradoxes and Other Mathematical Entertainments From Scientific American, New York: The Mathematical Association of America, 1979. pp. 111-122.
- Kalman, Dan, Fractions with Cycling Digit Patterns, The College Mathematics Journal, Vol. 27, No. 2. (Mar., 1996), pp. 109-115.
- Leslie, John, The Philosophy of Arithmetic: Exhibiting a Progressive View of the Theory and Practice of .... Longman, Hurst, Rees, Orme, and Brown, 1820.
- Wells, David, The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers, Penguin Press, ISBN 0-14-008029-5
Autres bases
En utilisant la technique décrite plus haut, on peut trouver les nombres cycliques d'autres bases arithmétiques. On doit noter toutefois que toutes les bases ne respectent pas forcément la seconde règle (les multiples successifs doivent tous être des permutations circulaires) indiquée dans la section des cas spéciaux ci-dessus.
En base binaire, la séquence des nombres cycliques commence comme suit :
- 01
- 0011
- 0001011101
- 000100111011
- 000011010111100101
En base ternaire :
- 0121
- 010212
- 0011202122110201
- 001102100221120122
- 0002210102011122200121202111
En base octale :
- 25
- 1463
- 0564272135
- 0215173454106475626043236713
- 0115220717545336140465103476625570602324416373126743
En base duodécimale :
- 2497
- 186A35
- 08579214B36429A7
En base 24 :
- 3A6LDH
- 248HAMKF6D
- 1L795CN3GEJB
- 19M45FCGNE2KJ8B7
Noter qu'en notation ternaire (b = 3), le cas p = 2 génère 1 comme nombre cyclique. Bien que les chiffres uniques puissent être considérés des cas triviaux, il peut être utile, pour la complétude de la théorie, de les considérer, mais uniquement lorsqu'ils sont générés de cette façon.
On peut démontrer qu'aucun nombre cyclique (autre que les chiffres uniques triviaux) d'aucune base arithmétique n'est un carré parfait ; ainsi il n'y a aucun nombre cyclique en base hexadécimale.
