En mathématiques le paradoxe de Burali-Forti, paru en 1897, désigne une construction qui conduit dans certaines théories des ensembles ou théories des types trop naïves à une antinomie, c’est-à-dire que la théorie est contradictoire (on dit aussi incohérente ou inconsistante). Dit brièvement, il énonce que, comme on peut définir la borne supérieure d'un ensemble d'ordinaux, si l'ensemble de tous les ordinaux existe, on peut définir un ordinal supérieur strictement à tous les ordinaux, d'où une contradiction.
L'argument utilise donc la notion d'ordinal, c’est-à-dire essentiellement celle de bon ordre : il est plus technique, bien que l'argument ne soit pas si éloigné de celui du paradoxe de Russell qui est plus simple à comprendre et à formaliser. Cependant, le paradoxe de Burali-Forti est le premier des paradoxes de la théorie des ensembles à être publié, six ans avant le paradoxe de Russell, et Georg Cantor en fait état dans sa correspondance, ainsi que du paradoxe du plus grand cardinal (dit de Cantor), dans les mêmes années. Par ailleurs, le paradoxe de Burali-Forti met directement en jeu la notion d'ordre, et non celle d'appartenance (même si aujourd'hui ces deux notions coïncident pour les ordinaux tels qu'ils sont définis en théorie des ensembles). Ainsi l'incohérence de certaines théories a été établie en dérivant directement le paradoxe de Burali-Forti. C'est ainsi que John Barkley Rosser a démontré en 1942 l'inconsistance de la première version des New Foundations de Willard Van Orman Quine.
Le paradoxe utilise la notion d'ordinal, une généralisation de la notion de nombre entier naturel, en tant qu'il représente un bon ordre. À tout bon ordre on associe un et un seul ordinal qui a la « même » structure d'ordre. Les entiers sont les ordinaux finis. L'ensemble des entiers naturels est bien ordonné, et son ordinal est noté usuellement ω. La notion de nombre ordinal diffère de celle de nombre cardinal dès que l'on passe à l'infini (des ordinaux infinis distincts peuvent avoir même cardinal).
Pour des raisons qui tiennent à la notion même d'ordinal, on sait qu'un ensemble d'ordinaux est lui-même bien ordonné de façon naturelle. Si on admet que l'ensemble de tous les ordinaux existe, on montre qu'à cause de propriétés de clôture que vérifierait forcément un tel ensemble, l'ordinal correspondant à ce bon ordre serait strictement supérieur à celui de chacun de ses éléments. On est donc face à une contradiction : l'ordinal associé doit être strictement supérieur à lui-même.
Tout comme pour le paradoxe de Russell, dont il a d'ailleurs d'une certaine façon la structure logique (il s'agit d'un raisonnement diagonal), le paradoxe de Burali-Forti se résout en restreignant le schéma d'axiomes de compréhension. Si l'on suit la définition naturelle d'ordinal, on le définirait comme une classe d'isomorphie de bons ordres pour l'isomorphisme d'ordre décrit au paragraphe précédent. Mais, à cause de la restriction du schéma de compréhension, une classe d'isomorphie n'est pas un ensemble. La classe d'isomorphie de l'ordre à un élément regroupe déjà tous les singletons (muni de la relation vide comme ordre strict). Par axiome de la réunion, on aurait l'ensemble de tous les ensembles, donc le paradoxe de Russell par le schéma de compréhension.
Cependant, il est possible de construire de façon uniforme un représentant par classe d'isomorphie : ce sont les ordinaux de von Neumann. On peut alors définir dans le langage de la théorie des ensembles la propriété « être un ordinal » (un ordinal de von Neumann est un ensemble transitif bien ordonné par l'appartenance). On peut donc parler de la classe des ordinaux. Il n'y a plus de contradiction, le paradoxe de Burali-Forti se traduit en :