Théorème de Bachet-Bézout - Définition
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Extension aux anneaux principaux quelconques
L'identité de Bézout peut s'écrire non seulement dans l'anneau des nombres entiers relatifs, mais aussi dans tout autre anneau principal. Notons que dans ce cas « plus grand diviseur » s'entend seulement au sens de la relation d'ordre fournie par la divisibilité dans l'anneau , l'unicité du pgcd n'est conservée qu'à un facteur inversible près de l'anneau. C'est-à-dire, si A est un anneau principal, et a et b sont des éléments de A non tous nuls, et d est un plus grand diviseur commun de a et b , alors il existe des éléments x et y dans A tels que :
Dans un anneau principal, un PGCD de a et b est un générateur de aA + bA, l'identité de Bézout est une conséquence de cette définition.
Identité de Bézout dans l'ensemble des polynômes
L'identité de Bézout se généralise à l'ensemble des polynômes à une indéterminée sur un corps commutatif K
Théorème — Étant donné une famille finie
![\mathbb{K}[X]](https://static.techno-science.net/illustrationWebp/Definitions/autres/a/a54a58150f8fbfa21e4e47bea7551681_74473e1ff482d8b2fb4406e56cad5749.png)
En particulier, les polynômes
Extension à d'autres anneaux
L'identité de Bachet-Bézout a donné lieu à une classe d'anneaux : un anneau A est dit de Bézout si tout idéal de type fini de A est principal . Bien entendu l'identité de Bézout est valable dans tout anneau de Bézout.
