Anneau principal - Définition et Explications

Introduction

Les anneaux principaux forment un type d'anneaux important dans la théorie mathématique de la divisibilité. Ce sont les anneaux intègres, commutatifs et unitaires non nuls auxquels on peut étendre deux théorèmes qui, au sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but...) strict, concernent l'anneau des entiers relatifs : le théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une...) de Bachet-Bézout et le théorème fondamental de l'arithmétique (L'arithmétique est une branche des mathématiques qui comprend la partie de la...).

Définitions

Un anneau A est dit unitaire s'il admet un élément neutre pour la multiplication (La multiplication est l'une des quatre opérations de l'arithmétique élémentaire...). Il est dit intègre si pour tous éléments a et b de A tels que a.b soit égal à zéro, un au moins des éléments a et b est nul. Cette propriété a pour conséquence que tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou...) élément non nul de A est simplifiable, c'est-à-dire que si a est un élément non nul de A, si b et c sont deux éléments de A tels que a.b = a.c (resp. b.a = c.a), alors b est égal à c. La simplification utilisée pour les calculs sur les nombres entiers, rationnels, réels ou complexe est donc toujours valable. Enfin l'anneau A est dit commutatif si, pour tous éléments a et b de A, a.b = b.a. Dans toute la suite de l'article, A désigne un anneau commutatif unitaire intègre.

Un idéal (En mathématiques, un idéal est une structure algébrique définie dans un anneau....) J est un sous-groupe de A stable par multiplication de n'importe quel élément a de A, ainsi si j est élément de J, a.j l'est aussi, ou encore a.J est inclus dans J. L'idéal J est dit principal s'il est composé des multiples d'un élément de l'anneau.

  • Un idéal J de l'anneau A est dit principal si et seulement s'il existe un élément a de A tel que J est égal à a.A.
  • Un anneau commutatif unitaire et intègre est dit principal si et seulement si tous ses idéaux sont principaux.

Propriétés

Arithmétique

L'arithmétique élémentaire (L’arithmétique élémentaire regroupe les rudiments de la connaissance des...) sur l'anneau des entiers relatifs se fonde sur quelques théorèmes clés. A l'exception de la division euclidienne (En mathématiques, et plus précisément en arithmétique, la division euclidienne...) qui n'est pas définie dans le cas général d'un anneau principal (Les anneaux principaux forment un type d'anneaux important dans la théorie mathématique...), ces grands théorèmes s'appliquent encore dans ce contexte (Le contexte d'un évènement inclut les circonstances et conditions qui l'entourent; le...). Ils permettent de généraliser les raisonnements arithmétiques à tous les anneaux principaux.

Le théorème de Bachet-Bézout est encore vérifié :

  • Si a et b sont deux éléments de A n'ayant pas d'autres diviseurs communs que les éléments du groupe des unités de l'anneau, alors il existe u et v éléments de A tels que a.u + b.v = 1.

Cette propriété résulte du fait que l'idéal engendré par a et b est principal, et tout générateur de cet idéal est diviseur (En mathématiques, un nombre entier d est un diviseur d'un entier n lorsque la division...) commun à a et b, donc est inversible et engendre l'anneau tout entier. En particulier, l'élément 1 appartient à cet idéal, ce qui entraîne la relation.

Une fois établies les définitions de pgcd et ppcm, l'identité de Bézout prend une forme un peu différente : l'équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement...) diophantienne ax+by = c admet des solutions si et seulement si c est un multiple du pgcd de a et de b.

Le lemme d'Euclide (Euclide, en grec ancien Εὐκλείδης...) aussi est vérifié :

  • Soit a, b et c trois éléments de A tel que a divise b.c et tel qu'il n'existe pas d'autres diviseurs commun à a et à b que les éléments du groupe des unités. Alors a est un diviseur de c.

En effet, l'identité de Bézout assure l'existence de deux éléments de A, u et v tel que a.u + b.v = 1. La multiplication par c des deux membres de cette égalité permet d'écrire (i) a.u.c + b.c.v = c. De plus, a est un diviseur de b.c, ce qui se traduit par l'existence d'un élément d de A tel que: (ii) b.c = a.d. Les égalités (i) et (ii) démontre l'égalité suivante: a.( u.c + v.d) = c. Ceci montre que a divise c et le lemme d'Euclide est bien vérifié.

Enfin, le théorème fondamental de l'arithmétique est vérifié :

  • Un anneau principal est factoriel, c'est-à-dire que tout élément de l'anneau se décompose de manière unique (aux facteurs inversibles près) en un produit de facteurs irréductibles.

Une unité désigne un élément qui possède un inverse (En mathématiques, l'inverse d'un élément x d'un ensemble muni d'une loi de...) dans l'anneau. Un facteur irréductible de l'anneau est un élément p tel que chacune de ses décompositions en produit de deux facteurs contienne au moins une unité. Ainsi dans Z, -2 est irréductible car toute décomposition (En biologie, la décomposition est le processus par lequel des corps organisés, qu'ils...) en un produit de deux facteurs contient nécessairement 1 ou -1 comme facteur. La décomposition est unique à un facteur inversible près. On remarque en effet qu'il existe plusieurs décompositions, par exemple de 6, 6 = 2 x 3 = (-2) x (-3). En revanche, ces deux décompositions sont les mêmes, à un facteur inversible près. Une démonstration (En mathématiques, une démonstration permet d'établir une proposition à partir...) est présentée dans l'article Anneau factoriel (En mathématiques, un anneau factoriel est un cas particulier d'anneau commutatif, unitaire et...).

Idéal

  • Un élément a est premier si et seulement si A/a.A est un corps.

Soit b un élément dont la classe dans l’anneau quotient est non nulle, alors b n'est pas élément de a.A. Comme a est premier, il n'existe pas d'autres diviseurs communs que les éléments du groupe des unités. L'identité de Bézout, par passage aux classes montre que b est inversible. L'idéal a.A est dit maximal, c'est-à-dire que les seuls idéaux contenant a.A sont lui-même et A tout entier.

Réciproquement si A/a.A est un corps, soit b un diviseur de a qui ne soit pas un élément inversible, alors il existe un élément c de l'anneau tel que b.c = a et la classe de b est un diviseur de zéro. Le seul diviseur de zéro d'un corps est zéro. Ceci montre que b est dans l'idéal a.A et b est un multiple de a. L'élément b est à la fois un diviseur et un multiple de a, ceci montre que c est inversible. Ainsi, tout diviseur de a non inversible est égal à a, à un facteur inversible près, ce qui démontre que a est premier.

On remarque que si a est premier l'idéal est aussi premier, on en déduit la proposition :

  • Les idéaux premiers de A sont les idéaux maximaux.

Propriétés noethériennes

Un anneau principal est noethérien, c'est-à-dire qu'il vérifie la propriété suivante :

  • Toute suite croissante d'idéaux est stationnaire.

En effet, si (Jn) est une suite croissante d'idéaux, l'union J de tous ces idéaux est un idéal (du fait que la suite est croissante). Soit a un générateur de J, il existe un entier N tel que JN contient a. On en déduit les inclusions suivantes :

\forall n \ge N \quad J \subset J_N \subset J_n \subset J.

Ces inclusions montrent qu'à partir du rang ( Mathématiques En algèbre linéaire, le rang d'une famille de vecteurs est la dimension du...) N, la suite est constante égale à J. Elle est donc stationnaire.

La noethérianité entraîne de nombreuses propriétés ; les deux suivantes sont vraies pour tous les anneaux commutatifs, mais imposent l'usage (L’usage est l'action de se servir de quelque chose.) d'une forme plus élaborée de l'axiome (Un axiome (du grec ancien αξιωμα/axioma,...) du choix pour une démonstration du cas général :

  • Tout idéal distinct de l'anneau est inclus dans un idéal maximal.

En effet, si un idéal distinct de l'anneau n'est inclus dans aucun idéal maximal, il est possible de construire une suite croissante d'idéaux qui n'est pas stationnaire et l'anneau n'est pas noethérien (donc pas principal).

  • Un élément de A est inversible si et seulement s'il n'appartient à aucun idéal maximal.

En effet, un élément a de A est non inversible si et seulement si l'idéal a.A est distinct de A c'est-à-dire, d'après la proposition précédente, si et seulement s'il est inclus dans un idéal maximal.

Anneau de Dedekind (En mathématiques, un anneau de Dedekind est un anneau disposant de propriétés...)

Il existe un type particulier d'anneaux noethériens important en théorie des nombres (Traditionnellement, la théorie des nombres est une branche des mathématiques qui s'occupe...), les anneaux de Dedekind.

Un anneau de Dedekind est un anneau A commutatif unitaire intègre et noethérien, dont tout idéal premier est maximal, et tel que A est intégralement clos, c'est-à-dire que les seuls éléments du corps des fractions de A qui sont entiers sur A sont les éléments A. (Rappelons qu'un élément est entier sur A si et seulement s'il est racine d'un polynôme (Un polynôme, en mathématiques, est la combinaison linéaire des produits de...) unitaire à coefficients dans A.)

  • Un anneau principal est intégralement clos.

On en déduit la proposition suivante :

  • Un anneau principal est de Dedekind.

Module sur un anneau principal

Un module sur un anneau est aux anneaux ce qu'un espace vectoriel (En algèbre linéaire, un espace vectoriel est un ensemble muni d'une structure permettant...) est à un corps. Un module sur un anneau A commutatif unitaire et intègre est un groupe abélien disposant d'une multiplication externe dotée des mêmes propriétés que celle d'un espace vectoriel.

  • Un module est dit libre s'il admet une base. Il est dit de type fini s'il admet une famille génératrice de cardinal fini.

La situation (En géographie, la situation est un concept spatial permettant la localisation relative d'un...) n'est pas la même que celle d'un espace vectoriel. Un module de type fini n'admet pas nécessairement une base. Par exemple un groupe abélien fini (En mathématiques et plus précisément en algèbre, les groupes abéliens...) G peut être aussi vu comme un Z module si z est un entier relatif (En mathématiques, un entier relatif se présente comme un entier naturel muni d'un signe...) et m un élément du module, z.m est égal à l'itérée m + m + ... + m z fois si z est positif et l'inverse de l'itéré -z fois si z est négatif. Toute famille finie (En mathématiques, la notion de famille est une généralisation de celle de suite, suite finie ou...) (gi) de G admet une relation linéaire non triviale, si e est l'exposant (Exposant peut signifier:) du groupe G, e.g1 + e.g2 + ... est égal à zéro. Cette configuration est étudiée dans l'article groupe abélien de type fini.

Dans le cas d'un anneau principal A, la configuration est proche de celle des espaces vectoriels :

  • Soit M un A module libre de type fini et de rang m, tout sous A module N de M admet une base de cardinal inférieur ou égal à m.

Une corollaire (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une...) immédiat est le suivant :

  • Un module libre de type fini sur un anneau principal est noethérien.

Dans le cas d'un anneau euclidien (En mathématiques et plus précisément en algèbre, dans le cadre de la...), il existe un algorithme effectif permettant de déterminer une base. Il se trouve dans l'article Théorème des facteurs invariants (En mathématiques, le théorème des facteurs invariants porte sur les modules de type...).

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