Théorème de Bachet-Bézout - Définition

Introduction

Cet article parle de l'identité de Bézout et du théorème de Bézout en arithmétique. Pour le théorème de Bézout en géométrie algébrique voir Théorème de Bézout.

En mathématiques, le théorème de Bachet-Bézout ou identité de Bézout est un résultat d'arithmétique élémentaire, qui prouve l'existence de solutions à l'équation diophantienne linéaire :

d'inconnues x et y entiers relatifs et où a, b sont des coefficients entiers relatifs et où PGCD(a,b) est le plus grand commun diviseur de a et b .

Le théorème de Bézout affirme que l'équation admet des solutions si et seulement si les entiers relatifs a et b sont premiers entre eux.

La première démonstration actuellement connue de ce théorème est due à Claude-Gaspard Bachet de Méziriac ; elle figure dans la seconde édition de son ouvrage Problèmes plaisans et délectables qui se font par les nombres, parue en 1624. Cependant, le mathématicien Étienne Bézout a généralisé ce résultat, notamment aux polynômes, démonstration notablement plus difficile. Par un de ces accidents de l'histoire mathématique, très fréquents, le nom de Bézout a été attribué à tort au résultat de Bachet.

Identité de Bézout dans l'ensemble des entiers relatifs

Théorème de Bachet de Méziriac

Claude-Gaspard Bachet de Méziriac (1581 - 1638)

L'algorithme d'Euclide étendu, en fournissant un couple d'entiers solution de l'équation ax + by = pgcd(a,b), prouve déjà l'existence de solution à l'équation. Mais la démonstration qui suit, plus proche de celle qui sera utilisé dans les anneaux principaux, possède aussi un intérêt.

On peut supposer par exemple a non nul.

Si , on montre que le plus petit élément strictement positif de A est le plus grand commun diviseur de a et b.

En effet est non vide (il contient la valeur absolue de a) donc contient un plus petit élément d₀ = x₀a + y₀b. La division euclidienne de a par d₀ a pour reste r qui est un entier naturel élément de A car s'écrit . C'est un entier plus petit que d₀, il ne peut donc pas appartenir à , donc r est nul. Cela signifie que d₀ divise a. De même, d₀ divise b. Donc d₀ est un diviseur commun à a et b.

Enfin, soit d un autre diviseur commun à a et b. Comme d divise a et b, d divise x₀a + y₀b donc d divise d₀. d₀ est bien le plus grand diviseur commun de a et b et il existe deux entiers x₀ et y₀ tels que pgcd(a,b) = ax₀ + by₀.

Remarque : si a et b sont nuls ils sont divisibles par n'importe quel entier et le pgcd n'existe pas.

Ce théorème ne possède en général pas de réciproque : l'existence de deux entiers tels que d = ax + by n'assure pas que d soit le PGCD de a et b. Il suffit pour s'en convaincre de remarquer, par exemple, qu'il existe deux entiers x et y tels que 2x + 3y = 5 alors que 5 n'est pas le PGCD de 2 et 3. S'il existe deux entiers x et y tels que d = ax + by, on peut seulement dire que d est un multiple du PGCD. En effet, a et b étant des multiples de leur PGCD, ax + by est un multiple du PGCD donc si d = ax + by alors d est un multiple du PGCD de a et b.

Dans le cas de l'équation ax+by = 1, il existe cependant une réciproque : l'existence de deux entiers x et y tels que ax + by = 1 assure que 1 est un multiple du PGCD de a et b. Cela ne se peut que si le PGCD de a et b est 1 donc seulement si a et b sont premiers entre eux.

Le théorème de Bachet-Bézout assure l'existence d'un couple d'entier tels que ax + by = PGCD(a,b). L'algorithme d'Euclide étendu fournit un des couples solutions, mais il en existe, en général, une infinité d'autres..

Par exemple, le plus grand diviseur commun de 12 et 42 est 6, et on peut écrire

mais aussi

.

Si le PGCD d est non nul, à partir d'un couple solution (x₀,y₀), il est facile de prouver que l'on a aussi :

où k peut varier dans

Applications

Le théorème de Bachet -Bézout intervient dans de nombreux domaine de la théorie des nombres.

• Il permet de démontrer le théorème de Gauss.
• Il intervient dans la recherche d'inverse modulo b et est donc utile dans le décodage de message en cryptographie.
• Il intervient dans la résolution de l'équation diophantienne ax+by = c.

Généralisation

En d'autres termes, quand les a_i ne sont pas tous nuls, le PGCD de a₁, ..., a_n est le plus petit entier strictement positif qui peut s'écrire comme combinaison linéaire, à coefficients entiers, de a₁, ..., a_n.