Théorème de factorisation (de morphismes) - Définition
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Introduction
En mathématiques, le théorème de factorisation est un principe général qui permet de construire un morphisme d'un espace quotient X / R dans un autre espace Y à partir d'un morphisme de X vers Y.
Le cas des ensembles
Soient X un ensemble muni d'une relation d'équivalence R et
Théorème — Si pour tout couple xRx' dans X, on a f(x) = f(x'), alors il existe une unique application
- g est surjective si f est surjective;
- g est injective si on a xRx' équivalent à f(x) = f(x');
- g est bijective si f est surjective et si
Pour tout élément
Si f est surjective, l'égalité f = gs implique que g est aussi surjective.
Enfin supposons que xRx' est équivalent à f(x) = f(x'). Soient z1 = s(x1),z2 = s(x2) tels que g(z1) = g(z2). Alors f(x1) = f(x2), donc x1Rx2 et z1 = s(x1) = s(x2) = z2. Ce qui veut dire que g est injective. La dernière propriété résulte des propriétés précédentes.
Les conditions du théorème sont optimales dans le sens suivant:
- Si une factorisation de
- Supposons que la factorisation existe. Alors f est surjective si g l'est, et si g est injective, alors xRx' équivaut à f(x) = f(x').
Ce théorème peut se spécialiser à un certain nombre de structures algébriques ou topologique.
Le cas des groupes
On considère la relation d'équivalence définie par un sous-groupe distingué H d'un groupe G: xRx' si
Théorème — Soit
- g est surjectif si f est surjectif;
- g est injectif si on a H = Kerf;
- g est un isomorphisme si f est surjectif et H = Kerf.
L'existence de g est assurée par le théorème général plus haut. Le fait que g soit un morphisme de groupes vient du fait que f,s sont des morphismes de groupe.
Si H = Kerf, alors f(x1) = f(x2) si et seulement si
Le cas des espaces topologiques
Soient X un espace topologique muni d'une relation d'équivalence R et
Théorème — Si pour tout couple xRx' dans X, on a f(x) = f(x'), alors il existe une unique application continue
- g est surjective si f est surjective;
- g est injective si on a xRx' équivalent à f(x) = f(x');
- g est ouverte (resp. fermée) si f est ouverte (resp. fermée);
- g est un homéomorphisme si f est surjective et ouverte ou fermée, et si
La continuité de g résulte immédiatement des propriétés générales de la topologie quotient. Pour toute partie F de X / R, on a g(F) = f(s − 1(F)), cela implique la propriété sur les applications ouvertes ou fermées.
Le cas des anneaux
On considère un anneau A et la relation d'équivalence définie par un idéal bilatère I de A: xRx' si
Théorème — Soit
- g est surjectif si f est surjectif;
- g est injectif si on a I = Kerf;
- g est un isomorphisme si f est surjectif et I = Kerf.
