Homéomorphisme
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Une tasse est homéomorphe à un pneu.
Une tasse est homéomorphe à un pneu.

En topologie, un homéomorphisme est un isomorphisme entre deux espaces topologiques : c'est une bijection continue de l'un dans l'autre, dont la réciproque (La réciproque est une relation d'implication.) est continue. Dans ce cas, les deux espaces topologiques sont dits homéomorphes.

La notion d'homéomorphisme (En topologie, un homéomorphisme est un isomorphisme entre deux espaces topologiques : c'est une bijection continue de l'un dans l'autre, dont la réciproque est continue. Dans ce cas, les deux espaces...) est la bonne notion pour dire que deux espaces topologiques sont " le même " vu différemment. C'est la raison pour laquelle les homéomorphismes sont les isomorphismes de la catégorie des espaces topologiques.

En général, une application continue bijective n'a aucune raison d'avoir un inverse (En mathématiques, l'inverse d'un élément x d'un ensemble muni d'une loi de composition interne · notée multiplicativement, est un élément y tel que x·y =...) continu. Par exemple, l'application [0,1[\cup \{2\} sur [0,1] égale à l'identité sur [0,1[ et envoyant 2 sur 1 est une bijection (Une fonction f: X → Y est dite bijective ou est une bijection si pour tout y dans l’ensemble d'arrivée Y il existe un et un seul x dans l’ensemble de définition X tel que...) continue mais son inverse n'est pas continue en 1.

  • Une bijection continue ouverte ou fermée est un homéomorphisme.
  • Soit K un espace topologique (En mathématiques, les espaces topologiques permettent de définir dans un contexte très général des concepts comme la convergence, la continuité et la connexité. Ces concepts apparaissent dans presque toutes les branches des mathématiques,...) compact, E un espace topologique séparé, et f:K\rightarrow E une bijection continue. Alors f est un homéomorphisme. En particulier, E est un compact.

En effet, toute partie fermée de K est un compact ; comme E est séparé, l'image par f d'une partie fermée de K est un compact, a fortiori une partie fermée de K. Donc, f est une application continue bijective fermée, ie un homéomorphisme par le point (Graphie) précédent.

Vous pouvez visualiser l'action d'un homéomorphisme du plan sur un carré (Un carré est un polygone régulier à quatre côtés. Cela signifie que ses quatre côtés ont la même longueur et ses quatre...) avec une petite animation (L'animation consiste à donner l'illusion du mouvement à l'aide d'une suite d'images. Ces images peuvent être dessinées, peintes, photographiées, numériques, etc.) sur geogebra (GeoGebra est un logiciel libre de géométrie dynamique en 2D, c'est-à-dire qu'il permet de manipuler des objets géométriques du plan (cercle, droite et angle, par exemple) et de voir immédiatement le résultat. Il vient...) puis, il est intéressant de définir explicitement cet homéomorphisme en suivant l'activité (Le terme d'activité peut désigner une profession.) proposée.

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