Homéomorphisme - Définition

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Une tasse est homéomorphe à un pneu.
Une tasse est homéomorphe à un pneu.

En topologie, un homéomorphisme est un isomorphisme entre deux espaces topologiques : c'est une bijection continue de l'un dans l'autre, dont la réciproque (La réciproque est une relation d'implication.) est continue. Dans ce cas, les deux espaces topologiques sont dits homéomorphes.

La notion d'homéomorphisme (En topologie, un homéomorphisme est un isomorphisme entre deux espaces topologiques : c'est...) est la bonne notion pour dire que deux espaces topologiques sont " le même " vu différemment. C'est la raison pour laquelle les homéomorphismes sont les isomorphismes de la catégorie des espaces topologiques.

En général, une application continue bijective n'a aucune raison d'avoir un inverse (En mathématiques, l'inverse d'un élément x d'un ensemble muni d'une loi de...) continu. Par exemple, l'application [0,1[\cup \{2\} sur [0,1] égale à l'identité sur [0,1[ et envoyant 2 sur 1 est une bijection (Une fonction f: X → Y est dite bijective ou est une bijection si pour tout y...) continue mais son inverse n'est pas continue en 1.

  • Une bijection continue ouverte ou fermée est un homéomorphisme.
  • Soit K un espace topologique (La topologie générale est une branche des mathématiques qui fournit un vocabulaire...) compact, E un espace topologique séparé, et f:K\rightarrow E une bijection continue. Alors f est un homéomorphisme. En particulier, E est un compact.

En effet, toute partie fermée de K est un compact ; comme E est séparé, l'image par f d'une partie fermée de K est un compact, a fortiori une partie fermée de K. Donc, f est une application continue bijective fermée, ie un homéomorphisme par le point (Graphie) précédent.

Vous pouvez visualiser l'action d'un homéomorphisme du plan sur un carré (Un carré est un polygone régulier à quatre côtés. Cela signifie que ses...) avec une petite animation sur geogebra (GeoGebra est un logiciel libre de géométrie dynamique en 2D, c'est-à-dire qu'il permet de...) puis, il est intéressant de définir explicitement cet homéomorphisme en suivant l'activité (Le terme d'activité peut désigner une profession.) proposée.

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