Topologie quotient - Définition

Introduction

En mathématiques, la topologie quotient consiste intuitivement à créer une topologie en collant certains points d'un espace donné sur d'autres, par le biais d'une relation d'équivalence bien choisie. Cela est souvent fait dans le but de construire de nouveaux espaces à partir d'anciens. On parle alors d'espace quotient.

Introduction

Beaucoup d'espaces intéressants, le cercle, les tores, le ruban de Möbius, les espaces projectifs sont définis comme des quotients. La topologie quotient fournit souvent la façon la plus naturelle de munir un ensemble défini "géométriquement" d'une topologie naturelle. Citons par exemple (voir plus bas) l'ensemble des sous-espaces vectoriels de dimension de .

Citons aussi le cas des surfaces de particulières : les tores à trous. Pour formaliser cette notion, il faut définir l'opération consistant à ajouter une anse à une surface. Cela se fait sans trop de difficulté en utilisant la topologie quotient, alors qu'il n'est pas évident du tout de définir de telles surfaces par une équation !

Cette notion illustre aussi l'efficacité de la topologie générale par rapport à la théorie des espaces métriques, souvent utilisée comme introduction à la topologie : bien que la topologie de la plupart des exemples décrits ci-dessous puisse être définie par une métrique, une telle métrique n'est pas toujours facile à construire.

Recollements

Soient et deux espaces topologiques, une partie de , une partie de , et un homéomorphisme.

Le recollement de et le long de est le quotient de la réunion disjointe par la relation d'équivalence qui identifie les éléments de et ceux de au moyen de .

On peut décrire ainsi l'opération consistant à ajouter une anse à une surface . On prend , pour deux disques fermés disjoints D₀ et D₁,  ; est un homéomorphisme de sur et de sur . (c'est plus rapide à dessiner qu'à décrire).

Définition et principales propriétés

Soit un espace topologique et une relation d'équivalence sur . On notera l'application naturelle de dans qui associe à un élément de sa classe d'équivalence.

La topologie quotient sur est définie de la façon suivante : pour qu'une partie soit ouverte, il faut et suffit que soit ouvert dans . Comme, d'après la théorie élémentaire des ensembles, l'image réciproque d'une intersection (resp. d'une réunion) est égale à l'intersection (resp. la réunion) des images réciproques, on définit bien ainsi une topologie.

Soit un espace topologique quelconque. Alors, pour qu'une application de dans soit continue, il faut et il suffit que l'application de dans soit continue.

La définition de la topologie quotient est faite précisément pour que cette propriété soit satisfaite : si est un ouvert de Y,, alors est ouvert dans si et seulement si est ouvert dans . Mais .

Remarque

Ce critère nous dit aussi que si une application continue de dans est constante sur les classes d'équivalence, alors l'application de dans définie par passage au quotient est automatiquement continue.

Quelques pièges

Le prix à payer pour la simplicité de cette définition est le fait que même si est séparé, muni de la topologie quotient ne le sera pas forcément (et même s'il l'est, il faudra le démontrer cas par cas). En effet, si est ouvert dans , il n'y a aucune raison en général pour que soit ouvert dans , et si et sont deux parties disjointes de X_,, leurs images par ne le sont pas nécessairement.

Premiers exemples

• Si , et si est la relation d'équivalence qui

identifie et , muni de la topologie quotient est homéomorphe au cercle.

• Si est une partie de ,

notons l'espace obtenu en identifiant tous les points de , muni de la topologie quotient.

* Si est une boule euclidienne fermée de dimension et sa frontière

(qui est la sphère unité ) on peut montrer que est homémorphe à .

* Si et , la topologie quotient sur est la topologie grossière.