Traitement numérique (microprocesseur) - Définition
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Représentation binaire codée décimale
Dans la représentation binaire codée décimale à chacun des éléments décimaux correspond un quartet représentatif de son équivalent binaire.
Ainsi :
- au 0(10) correspond 0000(2) ;
- au 1(10) correspond 0001(2) ;
- au 9(10) correspond 1001(2).
Le code Binaire Codé Décimal (BCD) est un code pondéré.
Les poids des bits représentatifs sont:
- pour le quartet le moins significatif (le premier quartet à droite): 8.4.2.1. ;
- pour le quartet suivant 80.40.20.10 ;
- 800.400.200.100. pour le troisième ;
- et ainsi de suite jusqu'au quartet le plus significatif (le dernier quartet à gauche).
Exemple
Le nombre décimal 2001(10) devient en BCD : 0010 0000 0000 0001. Inversement, le nombre BCD 1001 0101 0001 0111 devient en décimal 9517.
Représentation octale des nombres binaires
Comme la représentation hexadécimale la représentation octale ou représentation à base 8 est une notation condensée des nombres binaires. En remarquant que 2³ = 8, on peut représenter un triplet binaire à l'aide de l'un des 8 symboles du système octal. Ces huit symboles sont identiques au huit premiers chiffres du système décimal, soit : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 et 7.
Pour représenter en octal un nombre binaire, il suffit de le découper en groupe de trois bits ou triplet. Chacun des bits de ces groupes ayant une pondération s'échelonnant de 20 à 2² leur somme fournit la valeur octale de chaque groupe.
Soit le nombre binaire 110101100 à convertir en octal. Le découpage en triplets de ce nombre donne: 110 101 100
Après pondération, la somme S, bit par bit de chaque groupe est :
| 2² (4) | 21 (2) | 20 (1) | S | |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 0 | 6 | Soit 6(8) |
| 1 | 0 | 1 | 5 | Soit 5(8) |
| 1 | 0 | 0 | 4 | Soit 4(8) |
Le nombre octal correspondant au nombre binaire 110101100 est : 654
Opérations arithmétiques en base 2
Les opérations les plus fréquentes en base 2 sont l'addition et la soustraction. Ces opérations s'effectuent de la même manière que les opérations décimales en utilisant des tables d'addition et de soustraction beaucoup plus simples.
Addition binaire
L'addition est l'opération qui consiste à effectuer: dans un premier temps, la somme Si de deux chiffres binaires de même rang tels que Ai et Bi par exemple, puis, dans un second temps, une deuxième somme entre le résultat précédemment obtenu et la valeur du report ou retenue Ri-1, issu de l’addition aval de rang i - 1.
Exemple
Effectuer l'addition de deux nombres binaires A et B tels que:
- A = 110 (6 en décimal)
- B = 011 (3 en décimal)
Décomposition de la procédure :
- au premier rang (20), la retenue aval est forcément nulle et le total de A. et B. est bien égal à 1,
- au rang suivant (21), la retenue aval est également nulle, le total de A1 et B1, est égal à 0 mais génère un report R1,
- au troisième rang (2²) au total de A2 et B2 égal à 1 il faut rajouter le report R1 ce qui donne un total définitif de 0 avec un report R2 qui affecte le rang quatre.
Résultat final
Le résultat définitif est donc : 1001 soit 9 en décimal (6 + 3 = 9).
Récapitulations
Tableau récapitulatif de conversion des systèmes
| Base décimale | Base binaire | Base octale | Base hexadécimale |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0001 | 1 | 1 |
| 2 | 0010 | 2 | 2 |
| 3 | 0011 | 3 | 3 |
| 4 | 0100 | 4 | 4 |
| 5 | 0101 | 5 | 5 |
| 6 | 0110 | 6 | 6 |
| 7 | 0111 | 7 | 7 |
| 8 | 1000 | 10 | 8 |
| 9 | 1001 | 11 | 9 |
| 10 | 1010 | 12 | A |
| 11 | 1011 | 13 | B |
| 12 | 1100 | 14 | C |
| 13 | 1101 | 15 | D |
| 14 | 1110 | 16 | E |
| 15 | 1111 | 17 | F |
| 16 | 10000 | 20 | 10 |
| 17 | 10001 | 21 | 11 |
| 18 | 10010 | 22 | 12 |
| ... | ... | ... | ... |
Récapitualtif des méthodes de conversion
Conversion binaire - décimal
La méthode consiste à décomposer le nombre en puissances décroissantes de 2 en partant du rang le plus haut, soit :
- 1010(2) = 1 × 2³ + 0 × 2² + 1 × 21 + 0 × 20
- 1010(2) = 8 + 0 + 2 + 0
- 1010(2) = 10(10)
Conversion décimal - binaire
On effectue des divisions successives par 2 (voir plus en haut).
Conversion hexadécimal - décimal
La méthode consiste à décomposer le nombre en puissances décroissantes de 16 en partant du rang le plus haut, soit :
- BA8(16) = B × 16² + A × 161 + 8 × 160
- BA8(16) = 11 × 16² + 10 × 161 + 8 × 160
- BA8(16) = 2816 + 160 + 8
- BA8(16) = 2984(10)
Conversion décimal - hexadécimal
On effectue des divisions successives par 16 (voir plus en haut).
Conversion octal - décimal
La méthode consiste à décomposer le nombre en puissances décroissantes de 8 en partant du rang le plus haut, soit :
- 777(8) = 7 × 8² + 7 × 81 + 7 × 80
- 777(8) = 448 + 56 + 7
- 777(8) = 511(10)
Conversion décimal - octal
On effectue des divisions successives par 8 (voir plus en haut).
