Traitement numérique (microprocesseur) - Définition

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- Introduction - Système de numération - Code de Gray (code binaire réfléchi) - Code binaire pur - Transcodage - Représentation hexadécimale des nombres binaires - Représentation binaire codée décimale - Représentation octale des nombres binaires - Opérations arithmétiques en base 2 - Récapitulations

Introduction

Cet article est utile pour les élèves de collèges et de lycées techniques. Le microprocesseur, cerveau de l'ordinateur, effectue tous les calculs.

Système de numération

Base

Une base B caractérise un système de numération dans lequel tout nombre N peut s'écrire: N = m_nBⁿ + m_n-1B^n-1 + M₁B + m₀B⁰ avec tous les coefficients m < B.

Exemples

Le nombre 341₍₈₎ en base octale s'écrit: 3 × 8² + 4 × 8¹ + 1 × 8⁰
Le nombre 3AF8₍₁₆₎ en base hexadécimale s'écrit: 3 × 16³ + A × 16² + F × 16¹+8 × 16⁰

Tableau numérique

Base décimale	Base binaire	Base octale	Base hexadécimale
0	0	0	0
1	0001	1	1
2	0010	2	2
3	0011	3	3
4	0100	4	4
5	0101	5	5
6	0110	6	6
7	0111	7	7
8	1000	10	8
9	1001	11	9
10	1010	12	A
11	1011	13	B
12	1100	14	C
13	1101	15	D
14	1110	16	E
15	1111	17	F
16	10000	20	10
17	10001	21	11
18	10010	22	12
...	...	...	...

Pondération

Représenter un nombre N_B de n chiffres (ou symboles), dans une base B donnée, consiste en l'écriture en ligne de ces n chiffres de façon telle que: NB = (§)n-1_{… (§)}i _{... (§)}5 _(§)4 _(§)3 _(§)2 _(§)1 _(§)0

Avec: § : un quelconque des B chiffres ou symboles de la base, n - 1, .... i, 5, 4, 3, 2, 1, 0 indices indiquant le rang ou la position d'ordre du chiffre à partir de la droite.

La pondération permet l'attribution d'une valeur numérique ou poids à chacun des rangs. Ce poids P dépend de la base dans laquelle est représenté le nombre et a pour valeur: P=B^rang

Exemple

Dans le nombre décimal 425, le chiffre 5 est en position d'ordre 1 ou rang 0, le chiffre 2 en position d'ordre 2 ou rang 1 et le chiffre 4 en position d'ordre 3 ou rang 2.

4 2 5 nombre

2 1 0 rang

Pour la base 10, système décimal :

le premier rang ou rang 0 a pour poids 10⁰ soit 1, c'est le rang des unités,
le rang suivant, rang 1 a pour poids 10¹ soit 10 (rang des dizaines),
le rang 2 a pour poids 10² soit 100 (rang des centaines),
le rang 3 a pour poids 10³ Soit 1000 (rang des milliers), et ainsi de suite.

Note

Dans le système binaire on ne parle plus d'unité, de dizaine ou de centaine mais de bit (contraction de l'anglais binary digit, qui signifie rang binaire). On distingue ainsi le bit 0, le bit 1, le bit 2, le bit 3 ... L'équivalent français de bit est élément binaire ou eb, ce terme est relativement peu employé.

Code de Gray (code binaire réfléchi)

Dans le code binaire pur le passage d'une combinaison à l'autre entraîne parfois le changement simultané de plusieurs bits. C'est par exemple le cas pour la transition de l'équivalent décimal 3 à l'équivalent décimal 4 pour laquelle les bits de poids 1 et 2 passent de 1 à 0 et le bit de poids 4 passe de 0 à 1. Pour éviter cet inconvénient, cause d'aléas lorsque le code sert à la représentation de grandeurs physiques à variation continue, informations de position par exemple, il est nécessaire d'imaginer des codes pour lesquels le passage d'une combinaison à la suivante n'implique que la modification d'un bit et d'un seul. De tels codes sont appelés "codes réfléchis". Parmi ceux-ci, le code de Gray est le plus employé.