Transitivité (mathématiques)

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Introduction

En mathématiques, la transitivité est une propriété éventuelle d'une relation binaire. Une relation binaire $R$ définie sur un ensemble E est transitive quand à chaque fois que l'on a trois éléments x, y et z de E tels que x et y sont en relation, ainsi que y et z, alors x et z sont en relation. Plus formellement :

$\forall x, y, z \in E\left[(x \mathcal{R} y \and y \mathcal{R} z) \implies x \mathcal{R} z\right]$ .

Si l'amitié était transitive, on pourrait affirmer « Tous les amis de mes amis sont mes amis.»

On en déduit qu'une relation sur E n'est pas transitive si et seulement s'il existe un triplet d'éléments de E qui fournit un contre-exemple à la transitivité : x et y sont en relation, ainsi que y et z, mais pas x et z. Plus formellement :

$\exists x, y, z \in E\left[x \mathcal{R} y \and y \mathcal{R} z \and \lnot(x\mathcal{R}z)\right]$ .

On dit alors que la relation binaire $R$ est non-transitive. Cette propriété, qui est la simple négation de la transitivité, ne doit pas être confondue avec la propriété suivante :

$\forall x, y, z \in E \left[(x \mathcal{R} y \and y \mathcal{R} z) \implies\lnot(x \mathcal{R} z)\right]$ .

On dit parfois d'une telle relation qu'elle est anti-transitive (cette propriété est moins utile et moins courante que la transitivité, le vocabulaire n'est pas forcément bien établi). Remarquez que les propriétés de non-transitivité et d'anti-transitivité ne sont pas comparables (acune des deux n'entraîne l'autre), et qu'une relation, même non vide, peut très bien être transitive et anti-transitive (il suffit qu'il n'y ait pas de triplet (x, y z) vérifiant x R y et y R z).

Exemples

Les relations = , $\geq$ et $\leq$ sont parmi quelques unes des relations transitives les plus couramment utilisées. Si a = b et si b = c alors automatiquement a = c.
La relation de parallélisme est transitive : si une droite D est parallèle à D', elle-même parallèle à D", alors D est parallèle à D". Il en est de même pour toute relation d'équivalence.
De même, les relations d'ordre sont transitives. Par exemple, $(a \leq b \and b \leq c) \implies a \leq c$ ou encore tout diviseur naturel d'un diviseur naturel de n divise n.
Ainsi, on dit de la relation de congruence qu'elle est transitive dans $N$ . Cela veut dire que si $a \equiv b (l i e n)$ et si $b \equiv c (l i e n)$ , alors $a \equiv c (l i e n)$ .

Exemple de non-transitivité

La relation $\neq =$ n'est pas transitive, c'est-à-dire $a \neq = b$ et $b \neq = c$ ne permet pas de dire que $a \neq = c$ .

Exemple d'anti-transitivité

La relation "est le père de" est anti-transitive : si (a est le père de b) et (b est le père de c), alors (a N'est PAS le père de c).