Transitivité (mathématiques)
Source: Wikipédia sous licence CC-BY-SA 3.0.
La liste des auteurs de cet article est disponible ici.

En mathématiques, la transitivité est une propriété éventuelle d'une relation binaire. Une relation binaire \mathcal{R} définie sur un ensemble E est transitive quand à chaque fois que l'on a trois éléments x, y et z de E tels que x et y sont en relation, ainsi que y et z, alors x et z sont en relation. Plus formellement :

\forall x, y, z \in E\left[(x \mathcal{R} y \and  y \mathcal{R} z) \implies x \mathcal{R} z\right].

Si l'amitié était transitive, on pourrait affirmer " Tous les amis de mes amis sont mes amis."

On en déduit qu'une relation sur E n'est pas transitive si et seulement s'il existe un triplet d'éléments de E qui fournit un contre-exemple (En mathématiques, un contre-exemple est un exemple, un cas particulier ou un résultat général, qui contredit les premières impressions. Un contre-exemple peut aussi...) à la transitivité : x et y sont en relation, ainsi que y et z, mais pas x et z. Plus formellement :

\exists x, y, z \in E\left[x \mathcal{R} y \and  y \mathcal{R} z \and \lnot(x\mathcal{R}z)\right].

On dit alors que la relation binaire (Une relation binaire est un concept mathématique qui systématise des notions comme « ... est supérieur ou égal à ... » en arithmétique, ou « ... est élément de l’ensemble ... » en...) \mathcal{R} est non-transitive. Cette propriété, qui est la simple négation de la transitivité, ne doit pas être confondue avec la propriété suivante :

\forall x, y, z \in E \left[(x \mathcal{R} y \and  y \mathcal{R} z) \implies\lnot(x \mathcal{R} z)\right].

On dit parfois d'une telle relation qu'elle est anti-transitive (cette propriété est moins utile et moins courante que la transitivité, le vocabulaire n'est pas forcément bien établi). Remarquez que les propriétés de non-transitivité et d'anti-transitivité ne sont pas comparables (acune des deux n'entraîne l'autre), et qu'une relation, même non vide (Le vide est ordinairement défini comme l'absence de matière dans une zone spatiale.), peut très bien être transitive et anti-transitive (il suffit qu'il n'y ait pas de triplet (x, y z) vérifiant x R y et y R z).

Exemples

  • Les relations = , \geq et \leq sont parmi quelques unes des relations transitives les plus couramment utilisées. Si a = b et si b = c alors automatiquement a = c.
  • La relation de parallélisme est transitive : si une droite D est parallèle à D', elle-même parallèle à D", alors D est parallèle à D". Il en est de même pour toute relation d'équivalence.
  • De même, les relations d'ordre sont transitives. Par exemple, (a \leq b \and b \leq c) \implies a \leq c ou encore tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) diviseur (En mathématiques, un nombre entier d est un diviseur d'un entier n lorsque la division euclidienne de n par d donne un reste égal à zéro. Autrement...) naturel d'un diviseur naturel de n divise n.
  • Ainsi, on dit de la relation de congruence qu'elle est transitive dans \mathbb N. Cela veut dire que si a \equiv b  (lien) et si b \equiv c  (lien), alors a \equiv c  (lien).

Exemple de non-transitivité

  • La relation \not= n'est pas transitive, c'est-à-dire a \not= b et b \not= c ne permet pas de dire que a \not= c.

Exemple d'anti-transitivité

  • La relation "est le père de" est anti-transitive : si (a est le père de b) et (b est le père de c), alors (a N'est PAS le père de c).
Page générée en 0.015 seconde(s) - site hébergé chez Amen
Ce site fait l'objet d'une déclaration à la CNIL sous le numéro de dossier 1037632
Ce site est édité par Techno-Science.net - A propos - Informations légales
Partenaire: HD-Numérique