Espace de Cantor
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On appelle espace de Cantor l'espace produit K=\{0,1\}^\N. C'est un espace compact métrisable à base dénombrable (en fait, pour un espace compact, être métrisable ou être à base dénombrable sont des propriétés équivalentes, totalement discontinu (on dit aussi de dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur, ou bien son...) 0), qui a la propriété universelle suivante :

Tout espace métrisable à base dénombrable totalement discontinu est homéomorphe à un sous-espace de K.

Cela fournit en particulier un moyen commode pour compactifier les espaces métrisables à base dénombrable totalement discontinus. On en déduit que tout espace mesurable (On appelle espace mesurable le couple (X,Ω).) dénombrablement engendré et séparé est isomorphe à une partie de K munie de la tribu induite par la tribu borélienne (La tribu borélienne sur un (ou d'un) espace topologique T est la plus petite σ-algèbre sur T contenant tous les ensembles ouverts. Les éléments de la tribu borélienne sont appelés des boréliens.) de K.

L'espace de Cantor (On appelle espace de Cantor l'espace produit . C'est un espace compact métrisable à base dénombrable (en fait, pour un espace compact, être métrisable ou être à base...) est homéomorphe à l'ensemble de Cantor (L'ensemble de Cantor (ou ensemble triadique de Cantor, ou poussière de Cantor) est un sous-ensemble remarquable de la droite réelle construit par le mathématicien allemand Georg...), mais il est équipé naturellement d'une distance ultramétrique analogue à celle sur NN dont on trouvera une description dans l'article " boule ". C'est aussi, en probabilité (La probabilité (du latin probabilitas) est une évaluation du caractère probable d'un évènement. En mathématiques, l'étude des probabilités est un sujet de grande importance donnant lieu à de...), l'espace canonique sur lequel on construit le jeu de pile ou face.

L'espace de Cantor K a la puissance (Le mot puissance est employé dans plusieurs domaines avec une signification particulière :) du continu, et on démontre par exemple que les boréliens d'un espace métrisable compact ont la puissance du continu dès qu'ils sont non-dénombrables en prouvant qu'ils contiennent un sous-espace homéomorphe à K.

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